[理学]G2_1导数的概念.ppt

第二章 第一节 一、 引例 2、非均匀细杆的密度 3. 曲线的切线斜率 瞬时速度 二、导数的定义 注意: 高等数学 三、求导举例 例1 求 例2. 求函数 说明： 例4. 求函数 例5 求函数 例7. 求函数 例9. 设 四、 导数的几何意义 例11. 问曲线 例8. 证明函数 五、 函数的可导性与连续性的关系 六、 单侧导数 定理2. 函数 例13. 设 例14 已知 例15 例16. 设 内容小结 6. 判断可导性 思考与练习 2. 设 作业 P73 题5. 证明: 若 牛顿(1642 – 1727) 莱布尼兹(1646 – 1716) 哪一点有垂直切线 ? 哪一点处 的切线与直线 平行 ? 写出其切线方程. 解: 令 得 对应 则在点(1,1) , (–1,–1) 处与直线 平行的切线方程分别为 即 故在原点 (0 , 0) 有垂直切线 在 x = 0 不可导. 证: 不存在 , 定理1. 证: 设 在点 x 处可导, 存在 , 因此必有 其中 故 所以函数 在点 x 连续 . 注意: 函数在点 x 连续未必可导. 反例: 在 x = 0 处连续 , 但不可导. 即 解： 而 不存在 例12 讨论 在点 的某个左 邻域内 若极限 则称此极限值为 在 处的左 导数, 记作 即 (右) (右) 例如, 在 x = 0 处有 定义2 . 设函数 有定义, 存在, 在点 且 存在 简写为 在点 处左 导数存在 定理3. 函数 (右) 在点 必 左 连续. (右) 若函数 与 都存在 , 则称 显然: 在闭区间 [a , b] 上可导 在开区间 内可导, 在闭区间 上可导. 可导的充分必要条件 是 且 , 问 a 取何值时, 在 都存在 , 并求出 解: 故 时 此时 在 都存在, 显然该函数在 x = 0 连续 . 求 解： 中当 所以，尽管在 x = 0 的左右两侧 f (x)的表达式一样， 仍需要用充要条件去判别。 不存在 解: 因为 设 存在, 且 求 所以 在 处连续, 且 存在， 证明: 在 处可导. 证：因为 存在， 则有 又 在 处连续, 所以 即 在 处可导. 故 1. 导数的实质: 3. 导数的几何意义: 4. 可导必连续, 但连续不一定可导; 5. 已学求导公式 : 2. 增量比的极限; 切线的斜率; 不连续, 一定不可导. 直接用导数定义; 看左右导数是否存在且相等. 1. 函数 在某点 处的导数 区别: 是函数 , 是数值; 联系: 注意: 有什么区别与联系 ? ？ 与导函数 存在 , 则 3. 已知 则 4. 若 时, 恒有 问 是否在 可导? 解: 由题设 由夹逼准则 故 在 可导, 且 P86 2 , 6, 7做在书上8做在书上，9（7）， 14, 16(2) , 17，18，20 证: 令 则给定 当 时, 有 又 根据有界性定理, , 使 取 则 在 内连续, 存在, 则 必在 内有界. * 微积分学的创始人: 德国数学家 Leibniz 微分学 导数 描述函数变化快慢 微分 描述函数变化程度 都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数) 导数与微分 导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出. 英国数学家 Newton 一、引例 二、导数的定义 三、导数的几何意义 四、函数的可导性与连续性的关系 五、单侧导数 导数的概念 第二章 1. 变速直线运动的速度 设描述质点运动位置的函数为 则 到 的平均速度为 而在 时刻的瞬时速度为 自由落体运动 设有一非均匀的细杆， 与质量 之间的关系是 。求细杆 处杆的密度。 解：设杆长 在 处获一增量 ，那么这一小段长为 ，杆的质量应是 其均匀密度是 则当 时，其极限值就是杆在 处的密度 即 上任意一点 杆长 杆的一端在数轴的原点0， 曲线 在 M 点处的切线 割线 M N 的极限位置 M T (当 时) 割线 M N 的斜率 切线 MT 的斜率 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切线位置 2.切线问题 割线的极限位置——切