[理学]Gauss_Stokes公式练习及内容总结.ppt

Gauss, Stokes公式练习 Chp10 主要内容总结 积分概念的联系 计算上的联系 理论上的联系 Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系 定积分 二重积分 曲面积分 曲线积分 三重积分 曲线积分 其中 1.定积分与不定积分的联系 牛顿--莱布尼茨公式 2.二重积分与曲线积分的联系 格林公式 3.三重积分与曲面积分的联系 高斯公式 4.曲面积分与曲线积分的联系 斯托克斯公式 或 推广 推广 * 解 球 例1 外侧. 因Σ是闭曲面,可利用高斯公式计算. 高斯(Gauss)公式 例2 解 外侧. 能否直接用 点(x,y,z)在曲面上, 然后再用高斯公式. 可先用曲面方程将被积 因被积函数中的 函数化简， 高斯公式 高斯(Gauss)公式 利用高斯公式计算三重积分 提示 则 取 高斯(Gauss)公式 考虑到 选取相当自由， 由高斯公式 极坐标 高斯(Gauss)公式 被积函数中有抽象函数, 故无法直接计算. 如何直接计算 分析 用高斯公式. 例3 Σ是锥面 所围立体的表面 计算设f(u)是有连续的导数,计算 和球面 及 外侧. 高斯(Gauss)公式 解 由于 故由高斯公式 = 球 高斯(Gauss)公式 例4 证 高斯公式 高斯(Gauss)公式 例 5 设函数u(x, y, z)和v(x, y, z)在闭区域Ω上具有 其中Σ是闭区域Ω的整个边界曲面, v(x,y,z)沿Σ的外法线方向的方向导数, 称为拉普拉斯(Laplace)算子. 格林第一公式 一阶及二阶连续偏导数,证明 为函数 符号 高斯(Gauss)公式 n v ? ? P171例3 证 因为方向导数 是Σ在点(x,y,z)处的外法线 向量的方向余弦. 于是曲面积分 高斯(Gauss)公式 移项后,即证. 高斯公式 高斯(Gauss)公式 解 (如图) 计算曲面积分 1987年研究生考题,计算(10分) 绕y轴旋转曲面方程为 一周所成的曲面, 它的法向量与y轴正向的夹角 绕y轴旋转 高斯(Gauss)公式 取右侧. 有 高斯公式 柱坐标 高斯(Gauss)公式 取右侧 故 高斯(Gauss)公式 向量点积法 向量点积法 向量点积法 解 利用向量点积法 例 6 向量点积法 Stokes： 其中 方向余弦. 是Σ指定一侧的法向量 斯托克斯(Stokes)公式 另一种形式 便于记忆形式 斯托克斯(Stokes)公式 y x y P x Q x z x R z P z y z Q y R d d ) ( d d ) ( d d ) ( ? ? - ? ? + ? ? - ? ? + ? ? - ? ? òò S 解 则 计算曲线积分 P178 例 2 其中 截立方体: 的表面所得的截痕, 若从Ox 轴的正向看去, 取逆时针方向. 取Σ为平面 的上侧被Γ所围成的部分. Σ在xOy面上的投影为 斯托克斯(Stokes)公式 即 斯托克斯(Stokes)公式 计算 其中 Σ是球面 (1) 用对面积的曲面积分; (2) 用对坐标的曲面积分; (3) 用高斯公式; (4) 用斯托克斯公式. 斯托克斯(Stokes)公式 的上半部, Γ是它的边界. 练习题 用下面四种方法 解答 (1) 原式= 斯托克斯(Stokes)公式 ) cos , cos , (cos 0 g b a = ? n (2) 原式= (3) 补平面 原式= 斯托克斯(stokes)公式 方向朝下,与Σ构成封闭曲面. òòò = W v d 0 将Γ写成参数方程: 原式= 原式= (4) 边界曲线Γ:z = 0 平面内一圆 斯托克斯(stokes)公式 由斯托克斯公式 （一）曲线积分与曲面积分 （二）各种积分之间的联系 （三）场论初步 曲线积分 曲面积分 对面积的 曲面积分 对坐标的 曲面积分 对弧长的 曲线积分 对坐标的 曲线积分 定义 计算 定义 计算 联系 联系 （一）曲线积分与曲面积分 曲 线 积 分 对弧长的曲线积分 对坐标的曲线积分 定义 联系 计 算 三代一定 二代一定 (与方向有关) 与路径无关的四个等价命题 条件 等 价 命 题 曲 面 积 分 对面积的曲面积分 对坐标的曲面积分 定义 联系 计 算 一投,二代,三换(与侧无关) 一投,二代,三定向 (与侧有关) 定积分 曲线积分 重积分 曲面积分 计算 计算 计算 Green公式 Stokes公式 Guass公式 （二）各种积分之间的联系 *