[理学]GCT数学考试历年试卷分析7-10.doc

2003年GCT数学基础能力测试题 1．1000m大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树，相邻两棵树之间放一盆花，这样需要。 A．树200棵，花200盆 B．树202棵，花200盆 C．树202棵，花202盆 D．树200棵，花202盆 解：注意大道两头均需种树，且大道两侧对等，故需种树 （棵）；道路两侧花盆数显然比种树数各少一盆。 又：若想到摆花盆数比种树数少，则直接看出正确答案B。 2．已知，则。 A． B． C． D． 解：，显然选D。 设 ，则，故函数单调增加。 3．。 A． B． C． D． 解：。此题硬做亦可，选B。 4．记不超过10的素数的算术平均数为，则与最接近的整数是。 A． B． C． D． 解：不超过10的素数为2，3，5，7，（注意1不是素数） ，故选C。 5．某工厂产值三月份比二月份增加10%，四月份比三月份减少10%，那么。 A．四月份与二月份产值相等 B．四月份比二月份产值增加 C．四月份比二月份产值减少 D．四月份比二月份产值减少 解：根据题意二、三、四月份产值依次为，，。 选D。 6．五支篮球队相互进行循环赛，现已知队已赛过4场，队已赛过3场，队已赛过2场，队已赛过1场，则此时队已赛过。 A．场 B．场 C．场 D．场 解：相互比赛，没有排序问题，且进行一场比赛则比赛双方的比赛场次各增加1，故五支篮球队的比赛场次之和必为偶数。现条件告诉我们四支篮球队的比赛场次之和为10，队只能赛过偶数场。若选D则队必须与队、队均赛过，与题设不符，只能选B。 7．函数在上单调增加的充要条件是。 A． B． C． D． 解：若，则二次函数的图象开口向下，在上不可能单调增加；进一步考虑题目要求在整个正半轴，二次函数都要求单调增加，则此二次函数的对称轴必须在轴的左侧（否则，在区间上二次函数单调减少）。这样必须 ，或为。选C。 8．函数与的图形关于。 A．关于直线对称 B．关于直线对称 C．关于轴对称 D．关于轴对称 解：解法一：考虑函数最简单的形式（直线） ； 两条直线相交于，斜率相反，显然关于轴对称，选D。 注：若则这两条直线既关于轴对称也关于轴对称。 解法二：，此即函数曲线上的点关于轴的对称点恰在函数曲线上；反之亦然。当然两个函数图形关于轴对称。 9．已知实数和满足条件和，则。 A． B． C． D． 解：；。由此而得 ； 于是。选C。 10．一批产品的次品率为，每件检测后放回，在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为。 A． B． C． D． 解： 这是一道典型的独立重复试验题（注意每件检测后放回） 在连续三件检测中都是正品的概率为，那么在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 。选A。 若分成连续三件检测中分别有一件是次品、两件是次品和三件是次品这样三种独立试验考虑，则 较繁复。 11．过点作圆的切线和，，是两个切点，则所在的直线方程为。 A． B． C． D． 解：解法一：点在轴正上方，单位圆，一眼看出选D。 解法二：设点坐标为，切线满足，即。这里点是圆的圆心坐标，于是 ，联立（切点在圆上），得 ，由对称性，无须再求。 12．如题12图，正方形的面积为1，和分别是和的中点，则图中阴影面积为。 A． B． C． D． 解：先计算，（显然这两个三角形全等）和的面积为宜，而与全等，与同底等高，故，，面积相等，的面积为，得每个小三角形面积为；的面积为的面积减去的面积。， 和的面积和为，阴影部分面积是。 答案选C。 13．已知两平行平面之间的距离为，是平面内的一条直线，则在平面内与直线平行且距离为的直线有条。 A． B． C． D． 解：由于（保证两平行平面不重合），，对称性保证为2条。选C。 14．正圆锥的全面积是侧面积的倍，则该圆锥侧面展开后的扇形所对应的圆心角为。 A． B． C． D． 解：设圆锥的的底面半径为，母线长为，则该圆锥的全面积为 ，依题意可得 ， 该圆锥侧面展开后的扇形所对应的圆心角为。选B。 15．设点在圆的