[理学]s15 数值积分.ppt

就可将求积区间?a,b?变换到?-1,1?上，这时 即有 其中 插值求积公式节点一经确定，相应的求积系数就确定了，因此关键在于确定节点。 为简单起见, 对求积公式(6.15)的求积区间?a,b?转换成?-1,1?的形式，作变换 定理6.5 节点 是高斯点的充要 条件是：以这些点为零点的多项式 与任意次数不超过n的f(x)均正交 (6.16) 由定理6.5可知,如能找到满足公式(6.16)的n+1次多项式 ,则求积公式的高斯点就确定了，进而就可确定相应的高斯求积公式。为此需要引入勒让得（Legendre）多项式及其相关结论 定理6.6 若 是高斯点，则以这些点为根的多项式 是最高次幂系数为1的勒让得多项式 ，即 = 其中 从定理可以看出,当n给定,xk就确定了。P144表6-3给出当积分区间是?-1,1?时，2个点至5个点的高斯求积公式的节点、系数和余项,其中 ?-1,1?，需要时可以查用。 例6.17 利用三点高斯求积公式计算 的近似值。 解:由表6-3可知，得到三点高斯型求积公式为 由所求公式得 高斯求积公式是高精度求积公式，其求积系数， ,求积公式也是数值稳定的。 但它明显的缺点是当n改变时，系数和节点几乎都在改变，因而应用起来十分不便。同时其余项涉及高阶导数，要利用它们来控制精度也十分困难，因此在实际计算中较多采用逐步细分的复合求积方法。譬如，先把积分区间?a,b?分成m个等长的小区间 ,然后在每个小区间上使用同一低阶（如两点的、三点的…）高斯型求积公式算出积分的近似值，将它们相加即得积分 的近似值。 并跟分成m个等长区间的计算结果对比，直到两者计算误差满足要求为止。 SUBROUTINE FLRGS(A,B,F,EPS,G) DIMENSION T(5),C(5) DOUBLE PRECISION A,B,F,G,T,C,S,P,H,AA,BB,W,X,Q DATA T/-0.9061798459,-0.5384693101,0.0,0.5384693101,0.9061798459/ DATA C/0.2369268851,0.4786286705,0.5688888889,0.4786286705,0.2369268851/ M=1; S=(B-A)*0.001 ! 最小区间长度 P=0.0 10 H=(B-A)/M ！M个子区间，采用复合高斯求积法 G=0.0 DO 30 I=1,M AA=A+(I-1)*H ！子区间积分上下限 BB=A+I*H W=0.0 DO 20 J=1,5 X=((BB-AA)*T(J)+(BB+AA))/2.0 W=W+F(X)*C(J) !子区间的积分近似值 20 CONTINUE G=G+W !整个积分区间上的积分近似值 30 CONTINUE G=G*H/2.0 ！H是子区间的长度，见原始公式 Q=ABS(G-P)/(1.0+ABS(G)) ！精度要求 IF ((Q.GE.EPS).AND.(ABS(H).GT.ABS(S))) THEN P=G M=M+1 增加子区间数 GOTO 10 END IF END EXTERNAL F DOUBLE PRECISION F,A,B,G A=2.5 B=8.4 EPS=0.000001 CALL FLRGS(A,B,F,EPS,G) WRITE(*,10) G 10 FORMAT(1X,G=,D15.6) END FUNCTION F(X) DOUBLE PRECISION F,X F=X*X+SIN(X) RETURN END 上机：编写高斯求积程序求 ? (1) 被积函数f(x)并不一定能够找到用初等函数的有限形式表示的原函数F(x). (2) 被积函数f(x)的原函数能用初等函数表示，但表达式太复杂. (3) 被积函数f(x)没有具体的解析表达式, 其函数关系由表格或图形表示。 对于这些情况, 要计算积分的准确值都是十分困难的。由此可见, 通过原函数来计算积分有它的局限性, 因而研究一种新的积分方法来解决Newton-Leibniz公式所不能