[理学]§1--5矩阵.ppt

第 一 章 行 列 式 §1 二阶与三阶行列式 一、二阶行列式的引入 二、三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 一、全排列 二、排列的逆序数 §3 n 阶行列式的定义 一、 三阶行列式的结构 二、n 阶行列式的定义 §4 对 换 一、对换的定义 二、对换与排列的奇偶性的关系 §5 行列式的性质 一、定义 二、行列式的性质 三、应用举例 三、小结 思考题解答 解 含 的项有两项,即 对应于 一、对换的定义 二、对换与排列的奇偶性的关系 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数. 一、定义 二、行列式的性质 三、应用举例 行列式 称为行列式 的转置行列式. 记 性质1 行列式与它的转置行列式相等. 说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此 行列式的性质凡是对行成立的对列也同样成立. 互换行列式的两行 ,行列式变号. （列） 性质2 推论 如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零. 证明 互换相同的两行，有 . 8 2 5 8 2 5 3 2 - === ? c c 性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数 k ，等于用数 k 乘此行列式. 推论　行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面． 性质４　行列式中如果有两行（列）元素对应成比例，则此行列式为零． (Determinant) 一、二阶行列式 二、三阶行列式 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行(row)、 竖排称列(column))的数表 1. 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 2. 二阶行列式的计算 若记 对于二元线性方程组 系数行列式 二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 3. 则当系数行列式 例1 解 1. 定义 记 （6）式称为数表（5）所确定的三阶行列式. (1) 对角线法则 2. 三阶行列式的计算 注意 红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号． (2) 沙路法 例2 解 (1) 方程左端 一、概念的引入 二、全排列 三、排列逆序数 问题 定义 把 个不同的元素排成一列，叫做这 个元素的全排列（或排列）. 个不同的元素的所有排列的种数，通常用 表示. 同理 如：12345，54321，43512均为5级排列 1. 由1,2,…,n-1,n（n个数）组成的一个全排列称 为一个n级排列。 如：12345，54321，43512均为5级排列 2. 123…(n-1)n(具有自然顺序的排列为)标准排列。 在一个排列 中, 若数 则称这两个数组成一个逆序. 1. 定义 n 个不同的自然数，规定由小到大为标准次序. (即：大的数在小的数左边，则这两数构成一个逆序） 2. 定义 一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 例如 排列 32514 中， 3. 排列的奇偶性 逆序数为奇数的排列称为奇排列; 逆序数为偶数的排列称为偶排列. 4.计算排列逆序数的方法 设排列为 为 构成的逆序数 则其逆序数为 例1 求排列 32514 的逆序数. 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的 奇偶性. 一、三阶行列式的结构 二、n 阶行列式的定义 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 6 项，即 3! 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 1. 定义 解: 例　计算行列式 例4 证明 (2) (1) 对角行列式 例5 计算上三角行列式 解 例6 同理可得下三角行列式 注意 上三角行列式和下三角行列式统称为三角行列式 思考题 已知