[理学]§11n阶行列式.ppt

2. 排列具有奇偶性. 3. 计算排列逆序数的方法. 1. 个不同的元素的所有排列种数为 4.一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 6. n阶行列式共有n!项，每项都是位于不同行、不同列 的n 个元素的乘积,正负号由下标排列的逆序数决定. 5. 行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的. 7.行列式的三种表示方法 P.28：2 P.29：4、5、7（1）（2） 六、作业 思考题1 思考题1解答 解 设所求的二次多项式为 由题意得 得一个关于未知数 的线性方程组, 又 得 故所求多项式为 思考题2 已知 思考题2解答 解 含 的项有两项,即 对应于 例6 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 此排列为偶排列. 解 当 时为偶排列； 当 时为奇排列. 解 当 为偶数时，排列为偶排列， 当 为奇数时，排列为奇排列. 定义 在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的变换叫做对换． 将相邻两个元素对调，叫做相邻对换． 例如 对换 定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性． 证明 设排列为 对换 与 除 外，其它元素的逆序数不改变. 对换与排列的奇偶性的关系 当 时， 的逆序数不变; 经对换后 的逆序数增加1 , 经对换后 的逆序数不变 ， 的逆序数减少1. 因此对换相邻两个元素，排列改变奇偶性. 设排列为 当 时， 现来对换 与 次相邻对换 次相邻对换 次相邻对换 所以一个排列中的任意两个元素对换，排列改变 奇偶性. 推论 奇排列调成标准排列的对换次数为奇数， 偶排列调成标准排列的对换次数为偶数. 证明 由定理1知对换的次数就是排列奇偶性的 变化次数, 而标准排列是偶排列(逆序数为0),因此 知推论成立. 四、n阶行列式的定义 三阶行列式 说明 （1）三阶行列式共有 项，即 项． （2）每项都是位于不同行不同列的三个元素的 乘积． （3）每项的正负号都取决于位于不同行不同列 的三个元素的下标排列． 例如 列标排列的逆序数为 列标排列的逆序数为 偶排列 奇排列 定义 说明 1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的; 2、 阶行列式是 项的代数和; 3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同列 个元素的乘积; 4、 一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆; 5、 的符号为 例7　计算对角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 从而这个项为零， 所以 只能等于 , 同理可得 解 即行列式中不为零的项为 例8 计算上三角行列式 分析 展开式中项的一般形式是 即 解 不为零的项只有 例9 同理可得下三角行列式 例10 证明对角行列式 证明 第一式是显然的,下面证第二式. 若记 则依行列式定义 证毕 *例11 设 证明 证 由行列式定义有 由于 所以 故 定理2 阶行列式也可定义为 其中 为行标排列 的逆序数. 证明 按行列式定义有 记 对于D中任意一项 总有且仅有 中的某一项 与之对应并相等; 反之, 对于 中任意一项 也总有且仅有D中的某一项 与之对应并相等, 于是D与 中的项可以一一对应并相等, 从而 定理3 阶行列式也可定义为 其中 是两个 级排列，为行 标排列逆序数与列标排列逆序数的和. 例12 试判断 和 是否都是六阶行列式中的项. 解 下标的逆序数为 所以 是六阶行列式中的项. 下标的逆序数为 所以 不是六阶行列式中的项. 例13 在六阶行列式中，下列两项各应带什么符号. 解 431265的逆序数为 所以 前边应带正号. 行标排列341562的逆序数为 列标排列234165的逆序数为 所以 前边应带正号. 例14 用行列式的定义计算 解 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方 程组引入的. 对角线法则 二阶与三阶行列式的计算 五、小结 西南财经