[理学]§115 高斯公式与斯托克斯.ppt

一、高斯 ( Gauss ) 公式 证明: 设 例1. 用Gauss 公式计算 例2. 利用Gauss 公式计算积分 例3. 例4. 设函数 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 2. 闭曲面积分为零的充要条件 三、通量与散度 定义: *例5. 内容小结 思考与练习 备用题 设 ? 是一光滑闭曲面, 一、 斯托克斯( Stokes ) 公式 例1. 利用斯托克斯公式计算积分 例2. ? 为柱面 *二、空间曲线积分与路径无关的条件 证: 例3. 验证曲线积分 三、 环流量与旋度 旋度的力学意义: 斯托克斯公式①的物理意义: 例5. 设 *四、向量微分算子 内容小结 2. 空间曲线积分与路径无关的充要条件 3. 场论中的三个重要概念 思考与练习 定理2. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 ?, 有 (2) 对G内任一分段光滑曲线 ?, 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 由斯托克斯公式可知结论成立; (自证) 设函数 则 同理可证 故有 若(3)成立, 则必有 因P, Q, R 一阶偏导数连续, 故有 同理 证毕 与路径无关, 并求函数 解: 令 ? 积分与路径无关, 因此 斯托克斯公式 设曲面 ? 的法向量为 曲线 ?的单位切向量为 则斯托克斯公式可写为 令 , 引进一个向量 记作 向量 rot A 称为向量场 A 的 称为向量场A 定义: 沿有向闭曲线 ?的环流量. 或 ① 于是得斯托克斯公式的向量形式 : 旋度 . 设某刚体绕定轴 l 转动, M为刚体上任一 点, 建立坐标系如图, 则 角速度为 ?, 点 M 的线速度为 (此即“旋度”一词的来源) 向量场 A 产生的旋度场 穿过 ? 的通量 注意 ? 与 ? 的方向形成右手系! 为向量场 A 沿 ?的环流量 例4. 求电场强度 的旋度 . 解: (除原点外) 这说明, 在除点电荷所在原点外, 整个电场无旋. 的外法向量, 计算 解: 定义向量微分算子: 它又称为▽( Nabla )算子, 或哈密顿( Hamilton ) 算子. 则 则 高斯公式与斯托克斯公式可写成: 1. 斯托克斯公式 在?内与路径无关 在?内处处有 在?内处处有 设 P, Q, R 在?内具有一阶连续偏导数, 则 设 梯度: 散度: 旋度: 则 则 提示: 三式相加即得 * Green 公式 Gauss 公式 推广 一、高斯公式 *二、沿任意闭曲面的曲面积分为零的条件 三、通量与散度 高斯公式 通量与散度 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, ? 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 为XY型区域 , 则 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 原式 = (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果有何变化? 若 ? 为圆柱侧面(取外侧) , 如何计算? 其中 ? 为锥面 解: 作辅助面 取上侧 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 所围区域为?, 则 利用重心公式, 注意 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 在闭区域 ?上具有一阶和 二阶连续偏导数, 证明格林( Green )第一公式 其中 ? 是整个 ? 边界面的外侧. 分析: 高斯公式 证:令 由高斯公式得 移项即得所证公式.(见 P171) 1. 连通区域的类型 设有空间区域 G , 若 G 内任一闭曲面所围成的区域全属于 G, 则称 G 为空间二维单连通域 ; 若 G 内任一闭曲线总可以张一片全属于 G 的曲面, 则称 G 为空间一维单连通域 . 例如, 球面所围区域 环面所围区域 立方体中挖去一个小球所成的区域 不是二维单连通区域 . 既是一维也是二维单连通区域 ; 是二维但不是一维单连通区域 ; 是一维但 定理2. 在空间二维单 连通域G内具有连续一阶偏导数, ?为G内任一闭曲面, 则 ① 证: “充分性”. 根据高斯公式可知②是①的充分条件. 的充要条件是: ② “必要性”. 用反证法. 已知①成立, 因P, Q, R 在G