[理学]§62 群的定义.ppt

§6.2 群的定义 6.2.1 半群 6.2.2 群 6.2.3 群的性质 6.2.1 半群--半群的定义 设G是一个非空集合，若 · 为G上的 二元代数运算，且满足结合律，则 称该代数系统（G， ·）为半群。 6.2.1 半群 -- 半群的例 例. 设S是一个非空集合，ρ（S）是S的幂集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算，则（ρ（S），∩），（ρ（S），∪）都为半群。 例. 设Z为整数集，+、-、· 是数的加法、减法和乘法，则（Z， +）、（Z， ·）都是半群；（Z， -）不是半群。 半群的例 例. 设N为自然数集，规定N 上的运算“⊙”如下：a ⊙ b = a + b + a·b， 显然，⊙为N上的二元代数运算。对N中任意三个元素a，b，c，有： （a⊙b）⊙c = （ a + b + a·b） ⊙ c = （a + b + a·b）+c+（a + b + a·b）·c =a + b + c + a·b + b·c + a·c + a·b·c， a⊙（b⊙c）= a⊙（b + c + b·c） =a+（b+c+ b·c）+a·（b+c+ b·c） = a + b + c + a·b + b·c + a·c + a·b·c， 故，（a⊙b）⊙c = a⊙（b⊙c）. 因此，（N， ⊙）为半群。 6.2.2 群 -- 群的定义 设（G， ·）为半群，如果满足下面条件： (1) 有壹（单位元）：G中有一个元素1，适合对于G中任意元素a，都有1·a = a·1 = a; (2) 有逆：对于G中任意a，都可找到G中一个元素a-1，满足a·a-1 = a-1·a = 1， 则称（G， ·）为群。 如果群G包含的元素个数有限，则称G为有限群，否则称G为无限群。 6.2.2 群 -- 群的定义 理解群的定义时须注意： 群的定义针对抽象集合、抽象运算，必须注意公理化定义，不要误把非公理化条件及个人经验加入。 如：设（G， ·）为群， a,b,c∈G ， 则 a · b · a=a · a · b= a 2 ·b 未必成立。 6.2.2 群 -- 群的定义 思考题：判断下面定义是否正确？ 设G 是非空集合，·为G上的运算，如果： (1) ?a,b,c∈G，有（a · b） · c = a · （b · c） (2) ?a∈G， ?e ∈G ，使得e·a = a·e = a; (3) ?a∈G， ?a-1∈G ，使得a·a-1 = a-1·a = e， 则称（G， ·）为群。 6.2.2 群 -- 群的例 设Z为整数集，+、·是数的加法和乘法，则 半群（Z， +）是群，称为整数加法群。因为存在元素0，适合对于Z中任意元素a，都有0 + a = a + 0= a；且对于Z中任意a，都可找到Z中一个元素-a，满足a + （-a）=（-a）+ a = 0。 半群（Z， ·）不是群。因为虽然存在单位元素1，适合对于Z中任意元素a，都有1·a = a·1 = a，但除了1和-1外，其它元素均无逆元素。 6.2.2 群 -- 群的例 设Q为所有有理数组成的集合，R为所有实数组成的集合，C为所有复数组成的集合，Q*为所有非零有理数组成的集合，R*为所有非零实数组成的集合，C*为所有非零复数组成的集合，+、·是数的加法和乘法，则 （Q，+）、（R，+）、（C，+）都是群； （Q， ·）、（R， ·）、（C，·）都不是群； （Q*， ·）、（R*， ·）、（C*，·）都是群。 6.2.2 群 -- 群的例 设S是一个非空集合，ρ（S） 是S的幂集，∩和∪是ρ（S）上的交运算和并运算，则 半群（ρ（S），∩）不是群，单位元素:S，但除了S，其它元素都不存在逆元素； 半群（ρ（S），∪）也不是群，单位元素： ? ，但除了? ，其它元素都不存在逆元素。 6.2.2 群 -- 群的例 设N为自然数集，规定N 上的运算“⊙”如下：a ⊙ b = a + b + a·b。 已证：（N， ⊙）为半群。 但（N， ⊙）不是群。 反证：若不然， （N， ⊙）是群，则一定有 单位元素，设为e，则对N中任意元素a，都有 e ⊙ a = a，即e + a + e·a = a， 因此，e=0，但0?N，矛盾。因此，（N， ⊙） 无单位元素，故不是群。 6.2.2 群 -- 群的例 例. 设A是实数域上所有n阶非奇异矩阵的集合，*为矩阵的乘法，则（A，*） 是群。 例.设S={0，1，2，……m-1}，规定S上的运算⊕如下：