[理学]《数值分析》课件.ppt

数值分析是近代数学的一个重要分支，它是研究各种数学问题的数值解法，包括方法的构造和求解过程的理论分析。 在电子计算机成为数值计算的主要工具之后，则要求研究适合于计算机使用的数值计算方法，为了更好地说明数值分析的研究对象，我们考察用计算机解决科学计算问题时经历的几个过程： 任务：数值分析的任务是提供在计算机上实际可行的，有可靠理论分析、计算复杂性好的各种数值计算方法。 特点：数值分析是与计算机及其它科学有密切关系的数学课程，因此它即具有纯数学的高度抽象性与严密科学性的特点，同时又具有应用广泛性与数值试验的高度技术性，除此之外，它还有以下几个基本特点：  1、采用“构造性”方法； 2、采用“离散化”方法； 3、采用“递推化”方法； 4、采用“近似代替”方法等等。 研究内容 线性方程组的数值解 矩阵特征值与特征向量计算 非线性方程的数值解 数值逼近 数值积分 常微、偏微的数值解 研究方法 理论分析 算法分析 误差分析 收敛性分析 收敛速度 §1.2 误差知识与算法知识 1.2.1 误差的来源与分类 模型误差 处理实际问题时，要建立数学模型，通常模型只是近似的。由此产生的数学模型解与实际问题的解 之间的误差叫模型误差。 例如 是实际问题的解，而若数学模型的解是 由此产生的误差叫作模型误差。 观测误差 数学模型中包含某些变量，如时间、长度、电压等，它们一般是通过观测来获得。由于观测得到的数据与实际数据之间有误差，这种误差叫观测误差。 舍入误差 由于计算机的字长有限，参加运算的数据及其运算结果在计算机中存放会产生误差。这种误差叫舍入误差或计算误差。 例如 在 16 位微机上计算，单精度实数存放仅有 7 位有效数字。在其上运算，会有 1 ? 3 ? 0.333 333 3, (1.000 002)2 ?1.000 004 ? 0, 后者的准确结果是 4 ?10?12。 提问：绝对误差限的大小能否完全地表示近似值的好坏？ 例如：有两个量 问：谁的近似程度要好一些？ 例1 用最小刻度为毫米的卡尺测量直杆甲和直杆乙，分别读出长度为 a=312mm 和 b=24mm，问：?(a)，?(b)，? r(a)，?r(b)各是多少？两直杆的实际长度 x 和 y 在什么范围内？ 有效数字 ( significant digits) ?四舍五入带来的绝对误差限 凡是由准确值 x 经四舍五入而得到近似值 x*，其绝对误差限等于该近似值末位的半个单位。 例3 下列近似值的绝对误差限都是0.005， 问：各个近似值有几位有效数字？ 注: 1、同一个准确值的不同近似值，有效数字越多，其绝对误差和相对误差都越小. 2、准确值的有效数字可看做有无限多位. 例4 设有三个近似数 a=2.31,b=1.93,c=2.24它们都有三位有效数字，试计算p=a+bc，并问：p的计算结果能有几位有效数字？ 1.2.4 算法及其计算复杂性 ?定义 算法 就是规定了怎样从输入数据计算出数值问题解的一个有限的基本运算序列. ?定义算法的计算复杂性 是指在达到给定精度时,该算法所需的计算量和所占的内存空间. 前者叫时间复杂性，后者叫空间复杂性. ?算法一 ?算法二（秦九韶法） ?算法比较 算法一 所需乘法次数为 n(n+1)/2,加法次数为n。 算法二 所需乘法次数为n，加法次数也为n。 两种算法所占内存空间基本相同。 算法二是1247年我国数学家秦九韶首次提出的。 例子 计算 的值。 算法一 逐个相乘要用254次乘法。 算法二 14次乘法。 ?误差传播与积累 数学符号 x0, x1, ?, xn, y0, y1, ?, ym, xi ? ?1? i k=0,1, ?, n ?1. ??0?x?,?1?x?, ?, ?n?x?? ?(x, y) ? pnm(x, y) ? ???? ??? ?? ? ?? ? ? ?? ??? ??????? ? ? ? ? ΓΔΘΛΞΦΨΩ ????? ????? ????? ????? ????? ? ????? ??????? ? ????? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ?? ????????? ????? ????? ?????? ????????? ? ? ? ??????? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?