[理学]《数学物理方法》第一章.ppt

数学物理方法 绪 论 《数学物理方法》 既是理论物理学的基础， 又是物理学与数学联系的桥梁。 是既具有数学类型又具有物理类型的二重性课程。本课程为后续的物理基础课程和专业课程研究有关的数学物理问题作准备，也为今后工作中遇到的数学物理问题的求解提供基础。 　《数学物理方法》与《高等数学》是分不开的，它涉及一元和多元微积分学、幂级数、付里叶级数、微分方程、场论、线性代数等。 参考书 1.梁昆淼. 数学物理方法. 高等教育出版社，1998年6月第三版 2.郭敦仁：《数学物理方法》，北京：人民教育出版社 1965 3.胡嗣柱、倪光炯：《数学物理方法》，上海：复旦大学出版社 1989 4.吴崇试：《数学物理方法》，北京：北京大学出版社 2003 … … 第一章 复数与复变函数 第一节 复数 第二节 复变函数的基本概念 第三节 复球面与无穷远点 第一节 复数 复数的概念 复数的表示 复数的运算 复数的发展 需特别指出：可以证明当有三个不同的实根时，若要用公式法来求解，则不可能不经过负数开方(参考：范德瓦尔登著《代数学》,丁石孙译, 科学出版社，1963年)。至此，我们明白了这样的事实，此方程根的求得必须引入虚数概念。 卡丹诺公式出现于十七世纪，那时虚数的地位就应确定下来，但对虚数的本质还缺乏认识。“虚数”这个名词是由十七世纪的法国数学家笛卡儿（Descartes）正式取定的。“虚数”代表的意思是“虚假的数”，“实际不存在的数”，后来还有人“论证”虚数应该被排除在数的世界之外.由此给虚数披上了一层神秘的外衣。 自从有了复变函数论，实数领域中的禁区或不能解释的问题，比如： 负数不能开偶数次方； 负数没有对数； 指数函数无周期性； 正弦、余弦函数的绝对值不能超过1； …… 等已经不复存在。 第二节 区 域 区域的概念 单连通域与复连通域 复变函数定义 复变函数的极限与连续 极限的概念贯穿于高等数学之中。 3.性质： 2.连续函数 谢谢大家！ 举例 求0θπ, 0r1经w =iz变换后在w平面上的图形。 z平面 w平面 w =iz=zeiπ/2 举例 用复数表示平面点集 一、复变函数的极限 1.定义：设w=f（z）是在区域D中定义的单值函数。如果任给实数ε0，若存在实数δ0，当D内的z满足 时，有 则称f（z）当z趋于z0时有极限w0，记作： 2.几何意义 当z在Z平面进入以z0为圆心，δ为半径的圆Cδ时,相应的 就在W平面进入以w0为圆心，ε为半径的圆Cε内。 注：这里z以任意方式趋于z0时，其极限为w0。 要求此时 复平面上任意一点A与球的北极N的联线与球面相交于一A’点。 这样，复平面上的有限远点与球面上N以外的点一一对应起来。 此球称为复数球，球面称为复球面。 2、 无穷远点： 模为无限大的复数称之为无穷远点。 球与复平面相切于原点， 1、复球面（复数球） 第三节 复球面与无穷远点 A N A’ 3、全平面与开平面： 包含∞点的复平面称为全平面，或闭平面、扩充平面，它的几何模型就是复数球。 开平面指不含∞点的复平面，通常说的复平面是指开平面。 由于平面上模为无限大的点只对应复数球上点N，因此定义复数平面上∞点为一个点，即模为无限大，幅角无定义。 * * 《数学物理方法》课程包括复变函数、数学物理方程、积分变换和特殊函数四大部分。 学习《数学物理方法》，主要矛盾是如何学习和掌握各种具体的计算方法，逐步培养利用数学物理方法的知识解决物理问题的能力。 课程性质 答疑： 要勤于思考，多做练习，“熟能生巧” 。当学完《数学物理方法》以后，你会发现，你的数学分析水平将有大幅提高。 学习方法 复数相等 复数 形如 z=x+i y 的数被称为复数，其中x , y∈R。x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部，i为虚数单位，其意义为i2=-1 z1=z2当且仅当 Rez1= Rez2 且 Imz1= Imz2 复数四则运算？ 复平面 复数与平面向量一一对应 z平面 复数z=x+iy 虚轴 实轴 模 幅角 复数不能比较大小 主幅角 0的幅角呢？ （几何表示） 代数表示： z=x+iy 三角表示： z=r(cosθ+isinθ) 指数表示： z=reiθ 注意 在三角表示和指数表示下，两个复数相等当且仅当 模相等且幅角相差2kπ 欧拉公式 设z1=x1+iy1和 z2=x2+iy2是两个复数 加减运算 z1 + z2 =(x1 + x2) +i(y1 + y2 ) 复数加减法满足平行四边形法则，或三角形法则 z1 +(-