[理学]《概率与数理统计》6.ppt

§2.4 连续型随机变量 及其概率密度 一、定义 如果对于随机变量X的分布函数F (x ), 存在非负函数f (x ), 使对于任意实数x 有 则称 X 为连续型随机变量, 其中函数f (x) 称为X 的概率密度函数, 简称概率密度. 注 意 连续型随机变量密度函数的性质与离散型随机变量分布律的性质非常相似，但是，概率密度函数不是概率！ 所以有 说 明 ⑴．由上述性质可知，对于连续型随机变量，我 们关心它在某一点取值的问题没有太大的意义； 我们所关心的是它在某一区间上取值的问题． 由性质4在f (x )的连续点x 处有 看出概率密度的定义与物理学中的线密度的定义相类似, 这就是为什么称f(x)为概率密度的原因. 由(4.2)式知道, 若不计高阶无穷小, 有 P (x X ? x +Dx ) ?f (x) Dx. (4.3) 例1 设随机变量X具有概率密度 解: f(x)的曲线形状如图所示 (2) X 的分布函数为 三、三种重要的连续型随机变量 2）均匀分布的特点 3）均匀分布的分布函数 例 3 2．指 数 分 布 如果随机变量 X的概率密度函数为 2）指数分布的分布函数 3．正 态 分 布 下面来证明 3）正态分布的重要性 5）一般正态分布函数的计算 例 5 作业 第二章习题 第71页开始 第17,19,20,21,23题 0.266 0.399 0.798 m x O f(x) s =1.5 s =1 s =0.5 2）正态分布概率密度函数的图形的特点 x f (x) 0 x f (x) 0 实例 年降雨量问题，我们用上海99年年降雨量的数据画出了频率直方图。 从直方图，我们可以初步看出，年降雨量近似服从正态分布。 下面是我们用某大学大学生的身高的数据画出的频率直方图。 红线是拟合的正态密度曲线 可见，某大学大学生的身高应服从正态分布。 人的身高高低不等，但中等身材的占大多数，特高和特矮的只是少数，而且较高和较矮的人数大致相近，这从一个方面反映了服从正态分布的随机变量的特点。 除了我们在前面遇到过的年降雨量和身高外,在正常条件下各种产品的质量指标，如零件的尺寸；纤维的强度和张力；农作物的产量，小麦的穗长、株高；测量误差，射击目标的水平或垂直偏差；信号噪声等等，都服从或近似服从正态分布. 正态分布是概率论中最重要的分布 正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的．可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布． 正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的． 正态分布可以作为许多分布的近似分布． 4）一种重要的正态分布 —— 标准正态分布N (0,1) x 0 x -x 证： 由此知Z~N(0,1). 例6 由标准正态分布的查表计算可以求得， 这说明，X的取值几乎全部集中在[-3,3]区间 内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%. 当X～N(0,1)时， “3?”法则 P(| X | 3)=2 (3)-1=0.9974 P(| X | 1)=2 (1)-1=0.6826 P(| X | 2)=2 (2)-1=0.9544 m-3s m-2s m-s m+s m+2s m+3s 68.26% 95.44% 99.74% 0 标准正态分布的上α分位点 * * * * 连续型随机变量的分布函数是连续函数. 连续型随机变量的分布函数是概率密度函数的可变上限的定积分. f(x) 0 x 二、概率密度f (x)具有的性质 这两条性质是判定一个 函数 f(x)是否为某r.vX的 概率密度函数的充要条件. 面积为1 f (x) x 0 证明： O x 3 4 1/2 f(x) kx 例2 1．均 匀 分 布 若随机变量 X的概率密度函数为 记作 x ~ U [a , b] 1）均匀分布的概率密度函数 X X a b x l l 0 a b x F (x) 0 1 1）指数分布的概率密度函数 指数分布的特征: 证明 无记忆性 无记忆性：表示电子元件在使用了s小时后能再使用t小时的概率与一新元件至少能使用t小时的概率是一样的. 例 4.电子元件的寿命X(年）服从参数为10的指数分布 (1)求该电子元件寿命超过2年的概率。 (2)已知该电子元件已使用了1.5年， 求它还能使用两年的概率为多少？ 解 1）正态分布的概率密度函数 令(x-m)/s = t, 得到 * * * *