[理学]《生态岛平衡》数模论文.doc

生态岛平衡 摘要 本文就生态岛上植物、麋鹿和狼三个种群的平衡问题，建立模型Ⅰ——未加干扰因素的捕食者——被捕食者基本模型，运用龙格-库塔算法和Matlab数学软件，对植物、麋鹿和狼三个种群的数量随时间的变化进行定量的数值分析求解，这样我们就可以定量的预测未来若干年内狼和麋鹿的数量，解决了问题一。针对问题二，由植物、麋鹿和狼的数量随时间变化的关系图，我们定量的说明了该生态岛上的植物、麋鹿和狼三个种群最终将达到生态平衡，其种群数量将在（3500,125,30）上下波动，达到平衡的时间是48年。针对问题三，我们将在生态系统达到平衡的时候对不同麋鹿捕猎数量的生态平衡进行分析，运用Matlab数学软件作出植物、麋鹿和狼的数量在捕杀后随时间的变化关系图，我们定量说明了：只要在平衡态时对麋鹿进行适量的捕杀，该生态系统最终都将在20年内恢复到平衡状态，植物、麋鹿和狼三个种群的数量将恢复到（3500,125,30），这也说明了该生态系统具有较好的自动调节平衡的能力。如果全部捕杀完麋鹿的话，那么狼也将在5.355年后灭绝，植物恢复到环境允许的最大容量7000株. 最后针对问题四，我们运用Matlab数学软件作图，我们定量说明了每当生态系统达到平衡后，捕猎麋鹿25只，该生态系统植物、麋鹿和狼的数量将在8年内恢复到平衡位置（3500,125,30）,捕猎周期是8年。 在推广模型Ⅱ中，我们建立了一个更加符合实际情况的有干扰因素的捕食者——被捕食者模型，加了高斯白噪声干扰因素后，使得该生态系统达到一个动态的平衡，而这一动态平衡为物种的进化提供了条件，更加符合实际情况。 关键字： 生态平衡 Matlab 龙格-库塔算法 种群数量 高斯白噪声 一、问题重述 假设某岛上有一个很大的麋鹿群，它们靠岛上的植物为生，同时岛上还存在一个仅仅靠麋为生的狼群。有人对岛上麋与狼的数量进行了长期观察，通过定性分析画出了一个结构模型，如图1所示。这个结构模型启发我们：可以用这种食物链中的能量输入和输出的变化来描述植物、糜鹿和狼之间的数量关系。把食物链上每个分离环节中储存的能量定为模型的变量，经研究知道：一只狼平均具有37240千卡能量，一只糜平均具有413000千卡能量。在植物环节里的平均生产率按可利用的入射太阳辐射能的3％来估计，约为7500千卡／米2·年。食物链处于平衡状态时，各分离环节含有的能量可画成如图2所示的“能量金字塔”。 该生态系统中个模块之间的能量转换如表1所示。设岛上现有狼45只，麋6000只。 1. 建立数学模型预测未来若干年内狼和麋的数量。 2. 试问该生态系统中麋鹿和狼能否达到生态平衡？或需要多长时间才能达到生态平衡？ 3. 假如希望在岛上开辟一个猎场，猎取一定数量的麋，会使该生态系统的生态平衡受到什么样的影响？或到达新平衡点需要多长时间？ 4．就猎场规模及猎取麋的数量给有关部门写一份建议，以保持该岛的生态平衡。 图1 图2 表1： （基本数据单位：千卡/米2·年） E10 E20 E30 岛的面积 （米2） 12000 0.54 0.0025 564×106 F01 F10 F15 F12 F14 F20 F25 F23 F30 F35 7500 0.45 0.055 0.003 0.085 31.6 10.5 0.25 51.6 9.5 二、基本假设 1．假设环境条件允许植物、麋鹿和狼种群数量有一个各自的最大值，即环境容纳量分别为，，； 2. 假设种群数量的增长是种群个体死亡与繁殖的共同作用结果，即简单利用净增长率来描述； 3．假设种群中每个个体处于同一水平，在种群增长的过程中个体的差异如年龄结构等不予考虑； 4．假设不考虑种群数量增长率的时滞效应； 5．假设当植物、麋鹿和狼都各自独立生存时，独立生存规律遵从Logistic规律； 三、定义和符号说明 ：t时刻植物种群的数量； ：t时刻麋鹿种群的数量； ：t时刻狼种群的数量； ：植物的净增长率； ：麋鹿净增长率的绝对值； : 狼净增长率的绝对值； ：环境资源容许的植物的最大数量； ：环境资源容许的麋鹿的最大数量； ：是环境资源容许的狼的最大数量； ：单位数量的麋鹿掠取植物量的比例； ：单位数量的植物供养单位麋鹿量的比例； ：单位数量的狼掠取单位麋鹿量的比例； ：单位数量的麋鹿供养单位狼量的比例； 四、问题分析和基本思路 问题一分析： 由于麋鹿、狼种群数量较大，可以认为种群总数是随时间连续变化的。我们先在Logistic模型基础上考虑种群之间的关系，建立模型Ⅰ——无干扰因素的捕食者——被捕食者基本模型，再参考相关文献确定该生态系统的相关参数【1】，采用龙格-库塔算法，运用Matlab数学软件进行数值分析，作出植物、麋鹿和狼的数量随时间的变化的关系图，并同时作出麋鹿和狼