[理学]一阶微分方程.ppt

微积分讲义 王新心 设计制作 §9.2 一阶微分方程 　　（一）可分离变量的微分方程 　　（二）齐次微分方程 　　（三）一阶线性微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 　　一阶微分方程的一般形式 导数。 　　一阶微分方程的通解中含有一个任意常数 为了确定任意常数， 其中　为自变量， 为未知函数， 为　的一阶 必须给出一个初始条件。 通常是给出　　　时未知函数对应的值 记作 或 　　（一）可分离变量的微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 　　形如 的一阶微分方程称为变量已分离的微分方程。 　　将方程的两边同时积分得 　　说明　为了明显起见， 将不定积分 （　为任意常数） 看成原函数， 而将常数　单独写出来。 第九章 微分方程与差分方程简介 　　形如 的微分方程称为可分离变量的微分方程。 　　或 　　经过简单的代数运算， 上面两种形式的微 分方程可以转化为方程（1）的形式。 第九章 微分方程与差分方程简介 或 两边积分即可求出其通解。 第九章 微分方程与差分方程简介 　　解　分离变量得 　　例1　求微分方程　　　　的通解 两边积分得 （　为任意常数） 即 或 令 微分方程的通解为 （　为任意常数） 　取0也满足方程 第九章 微分方程与差分方程简介 　　解　分离变量得 　　例2　求微分方程　　　　的通解 两边积分得 （　为任意常数） 微分方程的通解为 （　为任意常数） 第九章 微分方程与差分方程简介 　　例3　求微分方程 　　解　分离变量得 两边积分 的解， 此处假设　　　　。 得 或 解出　得 逻辑斯蒂曲线方程 　　（二）齐次微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 　　形如 的微分方程称为齐次微分方程。 　　例如 可化为 第九章 微分方程与差分方程简介 　　又如 可化为 两个方程均为齐次微分方程。 　　对于齐次微分方程（2）作变量代换 第九章 微分方程与差分方程简介 代人（2）得可分离变量的微分方程 即　　　， 得 即 通解为 或 求出积分后再将　还原为　即得（2）的通解。 　为任意常数 第九章 微分方程与差分方程简介 　　解　原方程可写为 　　例4　求微分方程　　　　　的通解 令　　　得 微分方程的通解为 （　为任意常数） 分离变量后得 解为 即 第九章 微分方程与差分方程简介 　　解　原方程可写为 　　例5　求微分方程　　　　　　　在初始 令　　　得 分离变量后得 解为 即通解为 条件　　　　下的特解。 将初始条件代人得特解 或 　　（三）一阶线性微分方程 第九章 微分方程与差分方程简介 　　形如 的微分方程称为一阶线性微分方程。 称为一阶线性齐次微分方程； 　　若　　　　， 方程（3）变为 而　　　时， 称为一阶线性非齐次微分方程。 　　（1）一阶线性齐次微分方程的通解 第九章 微分方程与差分方程简介 　　将方程（4）分离变量后得 两边积分得 即 （5）为方程（4）的通解。 　　（2）一阶线性非齐次微分方程的通解 第九章 微分方程与差分方程简介 　　利用“常数变易法” 将其代人（3）中得 　　将（2）中的常数换为待定的函数　　， 设　　　　　　　是非齐次方程（3）的解， 第九章 微分方程与差分方程简介 即 代回原式中得非齐次线性微分方程的通解为 积分后得 齐次方程的通解 非齐次方程的特解 第九章 微分方程与差分方程简介 　　例6　求一阶线性微分方程 　　解 的通解。 由（6）得通解为 第九章 微分方程与差分方程简介 　　解　将原方程改写为 　　例7　求微分方程 的通解。 将　看成　的函数即为一阶线性微分方程 则解为 第九章 微分方程与差分方程简介 是只依赖于价格　的线性函数， 　　例8　设某种商品的供给量　与需求量 它们分别为 其中　　　均为已知的正常数， 函数　表明供 给量　是价格　的递增函数； 函数　　表明需 求量　是价格　的递减函数。 当供求相等时， 由　　　求得均衡价格　　　　。 当供给量超 过需求量时， 即当　　　时， 价格将下降； 第九章 微分方程与差分方程简介 比， 时间　的函数　　　。 即有 其中　是正常数， 将　　　代人上式得 当供给量小于需求量时， 将上涨。 价格 即当　　　时， 因此市场价格就随时间的变化而围绕 均衡价格　上下波动， 因而可以设想价格　是 的变化率与这时的过剩需求量　　　成正 假定在时间　时的价格 第九章 微分方程与差分方程简介 求得通解为 则得特解为 　　若已知初始价格　　　　， 其中　　　　　　　　　均为正常数。 第九章 微分方程与差分方程简介 形如 　　以　除方程的两边得 　　伯努利 ( Bernoulli )方程 的微分方程称为伯努利方程。 这是一种可以化 为一阶线性微分方程的方程形式。 第九章 微分方程与差分方程简介 换回