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[理学]不定方程
皖西学院 数理系 初等 数论 赵爽弦图 赵爽:东汉末至三国时代吴国人. 为《周髀算经》作注,并著有《勾股圆方图》。这是我国对勾股定理最早的证明。 1876年4月1日,伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。 1881年,伽菲尔德就任美国第二十任总统。后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为“总统”证法。 A B C SA+SB=SC 等腰直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方. 毕达哥拉斯定理: 毕达哥拉斯 “勾股定理”在国外,尤其在西方被称为“毕达哥拉斯定理”或“百牛定理”. 相传这个定理是公元前500多年时古希腊数学家毕达哥拉斯首先发现的。他发现勾股定理后高兴异常,命令他的学生宰了一百头牛来庆祝这个伟大的发现,因此勾股定理又叫做“百牛定理”. “赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智,它是我国古代数学的骄傲。 正因为如此,这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽。 c b a = 这就是本届大会会徽的图案. 这个图案是我国汉代数学家赵爽在证明勾股定理时用到的,被称为“赵爽弦图”. a a b b c c 伽菲尔德证法: ∴ a2 + b2 = c2 一、问题的提出 我们把满足二次不定方程 的正整数解称为勾股数. 早在我国古代数学书《周髀算经》中,就载有“勾三 股四弦五”,实际上说明该方程存在整数解。方程 〔1〕的非零整数解如何去求,其解具有怎样的特征, 是这里要回答的问题。 《周髀算经》是中国流传至今最早的一部数学著作,同 时也是一部天文学著作。现传本大约成书于西汉时期 (公元前一世纪)。也有史家认为它的出现更早,是孕于 周而成于西汉,甚至更有人说它出现在纪元前1000年。 二、二次不定方程 解的形式 为简单起见,我们先求方程〔1〕满足下述条件(2)的解 注:〔2〕中的条件 可以改写为 定理1: * * 第二章 不定方程 §2.1 二元一次不定方程 一、问题的提出〔百钱买百鸡〕 鸡翁一,值钱五,鸡母一,值钱三,鸡雏三,值钱一。 百钱买百鸡,问鸡翁母雏各几何?” 分析:设x, y, z分别表示鸡翁、鸡母、鸡雏的只数, 则可列出方程如下: 消去z得到方程 这里,方程的个数少于未知数的个数,在实数范围内, 方程的解有无穷多个。而我们所关心的是其有无整数 〔或正整数〕解,这种方程〔组〕称为不定方程。 小明家现有边长相等的正三角形、正方形、正五 边形、正六边形四种地板砖,要选择其中两种用 以铺地板,则下列选择正确的是( ) 分析: 这类问题实质上是“不定方程求正整数解”的问题,因为铺好的地板中间不能出空隙,所以两种图形内角拼在一起恰好要构成360 度角,并且砖的块数又是正整数。于是就使几何拼图转化成不定方程求正整数解的问题。 A、① ②、 B、① ③、 C、 ② ③、 D、 ② ④ 设需正三角形地砖m块,正方形地砖n块恰好铺成, 则有 60m+90n=360. 二元一次不定方程的一般形式为 注:该方法对一次项系数较小的方程比较实用。 二、二元一次不定方程解的形式和判定 定理1 若〔1〕式有整数解 则〔1〕式的一切解可以表示为 (2) 定理1的证明: 证:把〔2〕代入〔1〕,成立,故〔2〕是〔1〕的解。 例2 写出下列方程通解的形式: 说明:定理1给出了方程通解的一般形式。这样, 解决问题的关键在于求一个特解。 问题:所有的二元一次方程都有解吗? 定理2 有整数解 即为方程〔1〕的解。 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 先求一个特殊解,再根据定理1写出其通解。 对于方程(1),若有解,则可化为 一般地,利用辗转相除法,得到 例3 求方程 的一个特殊解。 解:用7、4进行辗转相除法 例4 求 〔1〕的一切整数解。 原方程可以化为 先求 〔3〕 的一个整数解。 107=37×3-4,37=4×9+1, 从而 故〔3〕的一个整数解是 〔2〕的一个整数解是 原方程的整数解为 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法 代数运算,观察法 例5 求 的一切整数解。 即得到原方程的一个整数解 从而所求的一切整数解为 练习1 将(169,121)表成倍数和. 练习2 将(1859,1573)表成倍数和. 练习3 求 的一切整数解。 三、求二元一次不定方程整数解的一般方法
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