[理学]专题10集合论的创立与发展.ppt

专题10 集合论的创立与发展 教育硕士 林清峰 19世纪,由德国数学家康托（G.Cantor，1845～1918）建立的集合论是关于无穷集合与超穷数的数学理论，是人类思想史上最伟大的创造之一。 一、无穷是什么？ 神秘莫测的，无边无际的，苍穹一样的 迷人的，…… 诗人，作家，艺术家，神学家，科学家 数学家 数的概念演进 经历四次飞跃： 区别一与多 区别少数与大数 区别有穷数与无穷数 区别无穷数的不同层次 每一次飞跃代表对数、对无穷的新认识。 阿基米德（Archimedes 287-212 B.C.）在《数沙者》（The Sand Reckoner）中定出一种计算地球上所有海滩上的沙粒数目的方法，从而纠正了认为海滩上的沙粒数目是无穷的想法。 二、关于无穷集合的早期认识 希腊人 通常认为无穷是不能接受的概念，它是一个不着边际且不确定的东西。 亚里士多德（Aristotle，384～322 B.C.） 潜无穷与实无穷 地球的年龄 正整数 整数 两种无穷观 亚里士多德在他的《物理学》中得出的结论是：“可选择的是无限具有潜性的存在……不会存在实无限。”他坚持认为数学中不需要后者。 无限——悖论栖身之处 亚里士多德只承认有穷数的存在。他和经院哲学家们使用的一个典型论据是，如果承认无穷，就会导致有穷数的“湮灭”。 普洛克鲁（Proclus，410～485 A.D.） 伽利略（Galileo，1564～1642） 《两门新科学》(1638） “所有无穷大量都一样，不能比较大小。” 许多数学家像谈论数一样谈论无穷，却并没有弄清它的概念或确定它的性质。 欧拉 《代数学》(1770年) 1/0是无穷大（而他并没有定义无穷，只是用符号表示它） 2/0 笛卡尔说过：“无穷可以被认知，但不能被理解。” 高斯在1831年写给舒马赫的信中说：“我反对把无穷量作为现实的实体来用，在数学中这是永远不能允许的，无限只不过是一种说话方式，我们所说的极限是指，某些比可以随意地接近它，而其他的则被允许无界地增加。” 柯西（Cauchy,Augustin-Louis 1789— 1857） 拒绝承认完成的无限集合的存在，其根据就是有这类悖论：一个完成的无限集合能与其本身的真正部分建立一一对应。 有限集合 大小的比较 “整体大于部分” 《欧几里得》十条公设最后一条 计数的根据 波吕斐摩斯的故事 利用一一对应概念作为计数根据的最早的文字记载之一。 《荷马史诗》记载 荷马（Homeros) 约9-8B.C. 古希腊诗人 当俄底修斯刺瞎独眼巨人波吕斐摩斯并离开库克罗普斯国以后，那个不幸的盲目老人每天坐在山洞口照料他的羊群。早晨母羊外出吃草，每出来一只，他就从一堆石子中捡起一颗石子。晚上母羊返回山洞，每进去一只，他就扔掉一颗石子。当他把早晨捡起的石子都扔光时，他就确信所有的母羊全返回了山洞。 结绳记数成为人类早期表示记数的方法 图：日本琉球群岛的结绳 三、无穷集合论的创立 波尔查诺（B.Bolzano ，1781～1848，捷克） 《无穷的悖论》（1851） 实无穷集合 两个集合等价的概念，即后来叫做两个集合元素之间的一一对应关系，适用于有限集合，也适用于无限集合 无穷集合中部分或子集可以等价于整体 对于无穷集合同样可以指定一个数叫超限数，使不同的无穷集合有不同的超限数，但他认为对于超限数无需计算，所以不用深入研究它们。 为了说明这种等价关系的真实存在，他举出了大量实例. 例如，在实数集 [0，5] 与实数集 [0,12] 之间可以建立 1—1 对应关系 直到19世纪上半叶，虽然数学家要处理无穷集合，例如无穷级数、实数、自然数，等等；但是，他们一般都避开存在完成的集合的假定后面的麻烦问题。 康托集合论的起源 19世纪,分析的严密化使人们必须考虑，收敛的无穷级数（有一个有限和）和那些发散级数的区别。在这些级数中，三角函数的无穷级数，即以傅立叶命名的傅立叶级数，起了极其重要的作用。 傅立叶（J.B.J.Fourier ，1768～1830，法国） 1807年 “对任意给定的函数都可以用一具有特殊类型的系数的三角级数表示” 被称为傅立叶级数 成为数学分析与数学物理中强有力的工具,但在当时被认为是缺乏严格性的。 “ 集合论，至少部分是起源于黎曼（Riemann）等人对于三角级数丰富的研究以及对不连续函数的分析。狄里克莱（Dirichlet）,李普希兹（Lipschitz），汉凯尔（Hankel）等人都对探索三角级数问题时引进例外点集，但主要是因为他们大体上是在三角级数的范围内考虑问题，虽然所作的大量工作包含了集合论的思