[理学]东南大学工程矩阵试卷new.doc

*（12%）在中，已知 ， 分别求，，及的基. *（8%）设为线性空间上的线性变换，且. 试证：； *（16%）在上已知线性变换 ， 〉求在基下的矩阵； 〉并求的Jordan标准形. * 已知的特征多项式与最小多项式都是，分别求及的Jordan标准形. *（8%）设为欧氏空间（未必是有限维的）上两正交的单位向量，作线性变换： ， 求使为正交变换的实数与之一切值. *（8%）已知阶方阵满足，且的秩是，求. *（10%）设为方阵，作，设是参数. 〉试证：； 〉已知，，求. *（10%）设为矩阵，为矩阵，作. 〉求（用表示）； 〉试证：. *（10%）试证：若为阶正规矩阵，则 *（18%）证明下列命题： 〉若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使. 〉设是阶正定矩阵，是维非零列向量. 若当时，总有 ，则必线性无关. 〉若阶方阵与满足：①. ； ②. ； ③. 则（证明时请注明每一步的理由）. *（16%）已知矩阵，，的子集 ， 〉证明：是的子空间； 〉求的一组基及的维数； 〉证明：，并求在上小题所得基下的坐标。 *（20%）已知的子空间 ， 分别求，，，的一组基及它们的维数。 *（12%）已知矩阵，求。 *（16%）设上的线性变换定义为： ， 〉求在的基下的矩阵； 〉求的值域及核子空间的基及它们的维数。 *（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。 〉分别求和的Jordan标准形； 〉问：与是否相似？为什么？ *（10%）已知矩阵，证明：的谱半径。 *（16%）已知矩阵。 〉求矩阵函数； 〉求的广义逆矩阵。 *（12%）设是维欧氏空间，是单位向量，是一参数，上的线性变换 定义为： ， 问：当取何值时，是正交变换？ *（6%）证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）。 *（20%）设上的线性变换定义为： ， 其中，表示矩阵的迹。 〉求在的基下的矩阵； 〉求的值域及核子空间的基及它们的维数； 〉问：+是否为直和？为什么？ *（18%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。 〉分别求和的Jordan标准形； 〉问：与是否相似？为什么？ *（12%）已知矩阵，求的广义逆矩阵。 *（12%）已知矩阵，求矩阵函数。 *（6%） 〉证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）。 〉假设是正规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵。 *（20%）已知矩阵，，，的子集 〉证明：是的子空间； 〉求的一组基及的维数； 〉证明，并求在上小题所得基下的坐标； *（12%） 〉已知阶方阵满足，且的秩为，求； 〉证明：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。 *（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。 〉分别给出和的Jordan标准形； 〉问：与是否相似？为什么？ *（18%）已知矩阵。 〉求矩阵函数； 〉求的广义逆矩阵。 *（20%）已知矩阵，，，的子集 V证明：是的子空间； 〉求的一组基及的维数； 〉证明，并求在所得基下的坐标； 〉问：是否属于？为什么？ *（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。 〉分别写出和的Jordan标准形； 〉问：与是否相似？为什么？ *（12%） 〉已知阶方阵满足，且的秩为，求； 〉证明：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。 *（18%）已知矩阵。 〉求矩阵函数； 〉求的广义逆矩阵。 *（10%）设是维欧氏空间，是单位向量，是参数，上的线性变换 定义为： ， 问：当取何值时，是正交变换？ *（10%）（任选两题） 〉设是相容矩阵范数。证明：对任意方阵，的谱半径； 〉对任意方阵，问：与的特征值之间有什么关系；证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）； 〉假设是正规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵。 *（20%）已知矩阵，，，的子集 〉证明：是的子空间； 〉求的一组基及的维数； 〉证明，并求在上小题所得基下的坐标； *（12%） 〉已知阶方阵满足，且的秩为，求； 〉证明：若方阵的特征值全为零，则必存在正整数，使。 *（12%）已知矩阵的特征多项式及最小多项式相等，均等于，矩阵。 〉分别给出和的Jordan标准形； 〉问：与是否相似？为什么？ *（18%）已知矩阵。求矩阵函数； *（10%）设是维欧氏空间，是单位向量，是参数，上的线性变换 定义为： ， 问：当取何值时，是正交变换？ *（10%）（任选两题） 〉设是相容矩阵范数。证明：对任意方阵，的谱半径； 〉证明：对任意方阵，（这里，表示矩阵的行列式，表示矩阵的迹）； 〉假设是正规矩阵。若的特征值全是实数，证明：是Hermite矩阵