[理学]信息论与编码 第2章 信源与信息熵.ppt

第2章 信源与信息熵 信源描述与分类 离散信源的信息熵和互信息 离散序列信源的熵 连续信源的熵与互信息 冗余度 概率论知识复习 基本事件： 随机试验的每一个可能的结果（样本点）。 样本空间： 基本事件的集合。 复杂事件： 多个基本事件所组成的事件。 随机事件： 无论基本事件还是复杂事件，它们在试验中发生与否，都带有随机性。 事件域： 基本事件和复杂事件是样本空间的子集，所有子集的全体。 概率空间： 三要素 — 样本空间、事件域(集合)、概率。 事件A的概率： A中样本点数与样本空间中样本点之比。 先验概率： 根据以往的统计规律得到的。 必须掌握的概率论知识 1）条件概率 2）联合概率 3)全概率： 设 B1 , B2 , … 是一列互不相容的事件(B i B j = 0）， 且有B1∪B2∪…=Ω（样本空间）； P(Bi)＞0,i=1，2…，则对任一事件A，有： 4)贝叶斯(Bayes)公式: 设B1,B2 , … 是一列互不相容的事件(B i B j = 0）， 且有B1∪B2∪… =Ω（样本空间）； p(Bi)＞0 ，i=1，2，…，则对任一事件A，有： 2.1信源的描述与分类 信源是产生消息（符号）、消息序列和连续消息的来源。从数学上，由于消息的不确定性，因此，信源是产生随机变量、随机序列和随机过程的源 信源的基本特性是具有随机不确定性 2.1信源特性与分类 分类 时间 离散 连续 幅度 离散 连续 记忆 有 无 三大类： 单符号离散信源 符号序列信源（有记忆和无记忆） 连续信源 2.1信源特性与分类 离散无记忆序列信源 布袋摸球实验，若每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色放回布袋，再取另一个球。 2.1信源特性与分类 离散有记忆序列信源 布袋摸球实验，每次取出两个球，由两个球的颜色组成的消息就是符号序列。若先取出一个球，记下颜色不放回布袋，再取另一个球。 2.1信源特性与分类 马尔可夫信源 当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m个符号有关联性，而与更前面的符号无关。 2.1信源描述与分类 描述：通过概率空间描述 单符号离散信源 例如：对二进制数字与数据信源 2.1信源描述与分类 连续信源 2.1信源描述与分类 离散序列信源 以3位PCM信源为例 2.1信源描述与分类 当p=1/2 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 当信源的记忆长度为m+1时，该时该发出的符号与前m个符号有关联性，而与更前面的符号无关。 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 由于高阶马尔可夫信源需要引入矢量进行分析，现方法将矢量转化为状态变量。定义状态： 信源在某一时刻出现符号概率xj与信源此时所处状态si有关，用条件概率表示p(xj/si),状态转移概率表示为p(sj/si) 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 更一般，经过n-m步后转移至sj的概率 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 特别关心n-m=1情况，pij(m,m+1) 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 系统在任一时刻可处于状态空间的任意一状态，状态转移时，转移概率是一个矩阵， 一步转移转移矩阵为 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 k步转移概率pij(k)与l步和k-l步转移概率之间满足切普曼-柯尔莫郭洛夫方程。 定义：如果从状态I转移到状态j的概率与m无关，则称这类MovKov链为齐次 对于齐次马尔可夫链，一步转移概率完全决定了k步转移概率。 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 定义：若齐次马尔可夫链对一切I,j存在不依赖于I的极限，则称其具有遍历性，pj称为平稳分布 2.1信源描述与分类 马尔可夫信源 定理：设有一齐次马尔可夫链，其状态转移矩阵为P，其稳态分布为wj 2.1信源描述与分类 不可约性，对于任意一对I和j， 都存在至少一个k，使pij(k)0. 非周期性，所有pij(n)0的n中没有比1大的公因子。 定理：设P是某一马尔可夫链的状态转移矩阵，则该稳态分布存在的充要条件是存在一个正整数N，使矩阵PN中的所有元素均大于零。 2.1信源描述与分类 Eg. 一个相对编码器，求平稳分布 2.1信源描述与分类 Eg. 二阶马氏链，X?{0,1},求平稳分布 2.2离散信源熵与互信息 信息量 自信息量 联合自信息量 条件自信息量 单符号离散信源熵 符号熵 条件熵 联合熵 2.2离散信