[理学]偏微01引论准备知识.ppt

是一个 的对称阵. A是正定或是负定的 （其特征值全同号） A的特征值皆非零且有n-1个同号 A的特征值至少有一个为零 椭圆型方程 双曲型方程 抛物型方程 多个自变量二阶线性偏微分方程 的分类及标准形 A的特征值皆非零且有m个同号,n-m个异号, m1 超双曲型方程 设 ，一个典型的椭圆型方程的边值问题是 其中 都是 的函数 边界条件是第一类边界条件 第二类边界条件: Neumann边界条件 第三类边界条件： 是区域 的外法线方向 两个自变量二阶方程的定解问题 扩散方程是抛物型的 设 ，在无穷域上的一个初值问题是 上第一边界条件的初边值问题是 波动方程是双曲型方程 上第一边界条件的初边值问题是 波动方程在 上的初值问题是 波动方程的特征方程是 ，波动方程的两族特征曲线是两族直线 波动方程在 上的初值问题是 他们各是一族相互平行的直线 过每点 有分属两族的各一条特征曲线通过 波动方程初值问题的解有以下的D’Alembert公式： 波动方程在 上的初值问题是 解依赖于初值 和 及自由项 的情况 在点 ，初值问题的解 只依赖于 上的初值g和h，以及一个由 特征线与x轴围成得三角形上的 之值 的依赖区间。 称为点 波动方程在 上的初值问题是 2.4 一阶方程组 设 其中y可以是时间变量t。向量函数 已知连续的向量函数 矩阵函数 （2.6） 称为一阶拟线性方程组 如果A与u无关，即 ，且 其中 如果（2.6）中的矩阵 则方程组（2.6）是线性方程。 对于固定的 没有实的特征向量 则方程组（2.6）成为椭圆型的： 如果 有p个线性无关的实特征向量 方程组（2.6）是双曲型的。 2.4 一阶方程组 （2.6） 如果 平面上的曲线 （是参数）满足 （2.7） 曲线称为方程组（2.6）的特征曲线 是 的特征值 方程（2.7）称为方程组（2.6）的特征方程。 2.4 一阶方程组 （2.6） 将Cauchy-Riemann 方程组写成 或 它没有实特征向量，方程组是椭圆型的 2.4 一阶方程组 Cauchy-Riemann方程为 例2.12 设 ，看一个未知函数 的一维对流方程 （2.8） 设常数 对比方程组（2.6）的形式有 对流方程是双曲型的（见P8）。 可以解出一族实的特征曲线 （其中 是常数）， 它们是一族相互平行的直线。 （2.6） （2.7） 从特征方程 沿着某一条特征线 ，方程（2.8）的解为 对流方程（2.8）的解常数。 对流方程的初值问题 在点 的解可写成 2.4 一阶方程组 （2.8） 沿着某一条特征线 图1.2表示了 时，方程（2.8）的一族特征线。 2.4 一阶方程组 （2.8） 当 时,过任一点 ,初值问题的解 只依赖于过此点的特征线 与 轴交点 上的初值 而改变 轴上某一点 的初值 只影响到特征线 上的解 （2.8） 2.4 一阶方程组 仍设 ,在 轴的正半轴上给定初始条件, 在 轴的正半轴上给定边界条件的初边值问题是 由特征线 的走向，初边值问题是适定的 2.4 一阶方程组 在点 的解可写成 P69 3 Fourier变换和复数矩阵 3.1Fourier变换 Fourier积分公式 是定义在 上的函数,并满足 其中 （3.1） 设 在 上可以展开成Fourier级数 （3.2） （3.3） （3.4） 将（3.3）式和（3.4）式代入（3.2）式，得到 3.1Fourier变换 （3.5） 假设 在 绝对可积，令 则（3.5）式第一项趋于零，记 ，则有 所以，当 时，（3.5）式成为 取极限后和式成为一个区间 上的积分式 (3.6) （3.5） 将三角函数写成指数函数的形式，有 代入（3.6）式，得到两项之和 成为 (3.6) 第一项中做代换 再和第二项相加就得到（3.1）式，即 Fourier积分公式 将（3.1）式写成 （3.1） 把内层的积分变量 换为 ，并令 （3.7） （3.8） （3.7）式的 称为 的Fourier变换， （3.8）式的 称为 的Fourier逆变换。 （3.7） （3.8） 类似三角级数有关的性质，可以证明 (3.9) 这称为Parseval关系式 3.２复数矩阵 A的共轭转置是 酉矩阵:　 矩阵: 如果 ，满足 如果 ，满足 正规矩阵: 定理３.２ 对于每一个 矩阵 存在酉矩阵 ，使 其