[理学]几种特殊类型函数的积分.ppt

一、有理函数的积分 二、三角函数有理式的积分 三、简单无理函数的积分 四、小结 一般地， 另解： * §3 几类初等函数的积分 有理函数的定义： 两个多项式的商表示的函数称之. 假定分子与分母之间没有公因式 这有理函数是真分式； 这有理函数是假分式； 利用多项式除法, 假分式可以化成一个多项式和一个真分式之和. 例 难点 将有理函数化为部分分式之和. 熟知，在复数范围内m次多项式方程Q(x)=0 有m个根，且虚根成对出现. 于是， 有理函数的分母在实数范围内的标准分解为： （1）分母中若有因式 ，则分解后为 有理函数化为部分分式之和的一般规律： 特殊地： 分解后为 （2）分母中若有因式 ，其中 则分解后为 特殊地： 分解后为 于是真分式的积分化为如下两种形式的积分： 这表明 将有理函数化为部分分式之和后，只出现三类情况： 多项式； 讨论积分 令 则 记 这三类积分均可积出, 且原函数都是初等函数. 结论 有理函数的原函数都是初等函数. 真分式化为部分分式之和的待定系数法 例1 代入特殊值来确定系数 取 取 取 并将 值代入 例2 例3 整理得 例4 求积分 解 例5 求积分 解 例6 求积分 解 令 三角有理式的定义： 由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数称之．一般记为 令 （万能置换公式） 化为了关于u的有理函数的积分. 例7 求积分 解 由万能置换公式 万能代换固然有效，但有时很烦琐.事实上，我们有三种标准代换来计算积分 解 令 例8 求积分 ，则 另解 可以不用置换公式. 结论 比较以上两种解法, 便知置换不一定是最佳方法, 故三角有理式的计算中先考虑其它手段, 不得已才用置换. 例9 求积分 解 1. 解决方法 令 例10 求积分 解 令 例11 求积分 解 令 说明 无理函数去根号时, 取根指数的最小公倍数. 例12 求积分 解 先对分母进行有理化 原式 例13 求积分 解 原式 例14 求积分 例15 求积分 解 原式