[理学]分析力学六.ppt

§1.6.3 正则变换 一、正则变换 1. 目的： 找到一坐标系，使得在该系下，循环坐标多； 2. 正则变换的涵义：广义坐标为 ，是决定系统中所有质点位置的独立变量。设 为 的单值可逆函数，即 2. 在海森堡绘景下的运动方程为 决定 ，即决定了系统中所有质点的位置 也是广义坐标 ( ：均在位形空间) 是 之间的变换 例：笛卡尔坐标和球坐标之间的关系 就是这种变换。 * 第六章 低速宏观运动规律的正则形式 运动规律的表述形式：牛顿形式、拉格朗日形式、 哈密顿形式、泊松括号形式 对于拉格朗日形式，有 1.力学系统的描述： 2.拉格朗日方程： 3. 缺点：方程中 地位不平等 力学系统的描述改为： (广义坐标)、 (广 义动量) ：有共轭关系(独立、平等、成对)。用这一 对变量深刻反映了运动本质，且可得到更 为对称的运动方程 —— 正则方程。 §1.6.1 哈密顿方程 一、勒让德变换 (将 ) 设：f = f (x,y)——关于两个变量的二元函数 则 又 两式相减 ——关于x、Q 变量的全微分 (勒让德变换) 变换后的函数：g = f – Qy Q=Q(x,y) y=y(x,Q) ：由 Q=Q(x,y) 解出y=y(x,Q) f = f (x,y) f = f (x,Q) 因此 g = f – Qy = g(x,Q) 说明： 1. (1)、(2)两式相减的另外一种结果为 d (Qy – f ) = ydQ–Pdx (本质上与前面无差别) 2. 若要将变量 x 变为 P，则 上两式相减 这样 3.对于df = Pdx + Qdy 用Q取代 y，则将df 中的dy 前面的Q乘以被取代的y，再减去原函数 f ；用P取代x，则将df 中的dx前面的P乘以被取代的x，再减去原函数 f。 4. f = f (x,y,z)——关于三个变量的函数(可推广到N元函数) 要将 x、y、z → x、Q、R，采用与前面一样的方法， 有 二、哈密顿函数 设 ，t ——固定参量 则 而广义动量为 拉格朗日方程为 而 (上式中 不对称) 目的： 作勒让德变换 ——哈密顿函数 得 又 与 比较得：H就是系统的能量E。 在 中，H只是 的函数 一般情况： 三、哈密顿方程 由 H=H(q, p) 得到 比较 于是有 ——哈密顿方程 (正则方程,系统的运动方程) 说明 1. 数学上：哈密顿形式上为一阶微分方程 (2S个)，而 拉格朗日形式上为二阶微分方程——简化数学计算 (尤其对于数值计算)； 2. 哈密顿方程中， 地位同等——相互共轭