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讨论 (1) 若力 不在转动平面内时，则将其分解为 (2) 力矩的功的实质是力的功； (3) 合力矩的功等于各分力矩所作功之和； (4) 内力矩的功为零。 三. 转动动能定理 (Rotational Work-Energy Theorem) 讨论 (1) 转轴变化，J，M，A 均变化， 但动能定理形式不变； (2) 内力对刚体动能的改变没有贡献。 绕定轴转动刚体在任一过程中动能的增量，等于在该过程中作用在刚体上所有外力所作功的总和。这就是绕定轴转动刚体的——动能定理 刚体的机械能: 刚体重力势能 刚体的机械能: 质心的势能 刚体的机械能守恒 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能守恒定律仍成立 ? ? (Gravitational potential energy for an extended body) 一根长为 l ，质量为 m 的均匀细直棒，可绕轴 O 在竖直平 面内转动，初始时它在水平位置 求 它由此下摆 ? 角时的 ? 和 ?。 O l m ? C x 由动能定理知 例 解二 解三 由机械能守恒定律知 O l m ? C x 图示装置可用来测量物体的转动惯量。待测物体A装在转动架上，转轴Z上装一半径为r 的轻鼓轮，绳的一端缠绕在鼓轮上，另一端绕过定滑轮悬挂一质量为 m 的重物。重物下落时，由绳带动被测物体 A 绕 Z 轴转动。今测得重物由静止下落一段距离 h，所用时间为t， 例 解 分析（机械能）： 求 物体A对Z 轴的转动惯量Jz。设绳子不可伸缩，绳子、各轮质量及轮轴处的摩擦力矩忽略不计。 若滑轮质量不可忽略，怎样？ 机械能守恒 §6.3 动量矩（角动量） 动量矩守恒定律 一.质点的动量矩和动量矩守恒定律 1. 质点的动量矩(Angular Momentum of a Particle) m O ? t 时刻： 动量为 位矢为 定义： 质点在 t 时刻的动量矩(对 O 点)为 其大小 当质点作平面运动时，质点对 运动平面内某参考点O 的动量矩也称为质点对过O垂直于运动平 面的轴的动量矩 O ? m S 等于质点对该轴的动量矩。 质点对某点的动量矩，在通过该点的任意轴上的投影就 O’ 例 一质点m，速度为v，如图所示，A、B、C 分别为三个参考点,此时m 相对三个点的距离分别为d1 、d2 、 d3 求 此时刻质点对三个参考点的动量矩 m d1 d2 d3 A B C 2. 质点动量矩定理 解 动量矩定理 的积分形式 质点动量矩定理的微分形式 方向：？ 3. 质点动量矩守恒定律(The Conservation of Angular Momentum of a particle) ──质点动量矩守恒 (1) 守恒条件 讨论 (2) 有心力的动量矩守恒。 太阳 例: 行星 轨迹（椭圆） (3) 开普勒第二定律 M ? ? M ? 二. 质点系动量矩和动量矩守恒定律 质点系所有质点对同一参考点的动量矩 的矢量和 1.质点系对参考点O 的动量矩 记质点系质心 C 的位置矢量为 ，速度为 。对第 i 个质 ，则 点，设其相对于质心的位置矢量为 ，速度为 O ?(引入质心运动) (质心系) C 结论 质点系的角动量可分为两项： 第一项：只包含系统的总质量、质心的位矢和质心的速度 ——轨道角动量 第二项：是质点系各质点相对于质心的角动量的矢量和 ——自旋角动量 质点系的轨道角动量等于质点系的全部质量集中于质心 处的一个质点对于参考点的角动量。它反映了整个质点 系绕参考点的旋转运动 质点系的自旋角动量是以质心为参考点的角动量。它与 观察者选择什么样的参考点无关；与质点系绕参考点的 整体运动无关。它只代表系统的内禀性质。 2. 质点系的动量矩定理 O 三. 定轴转动刚体（对轴）的动量矩和动量矩定理 刚体上任一质元对Z 轴的动量矩的方向相同 ? O Z ω 分量形式 四.动量矩守恒定律(The Principle of Conservation of Angular Momentum ) （分量形式）角动量守恒定律 讨论： 1. 刚体绕定轴角动量守恒 2. 几个物体绕同一个轴转动角动量守恒 z 3. 演示实验 4. 实例 溜冰 猫 返回 猫有一条长长的尾巴，它习惯于在阳台上睡觉，因而从阳台上掉下来的事情时有发生。长期的观察表明猫从高层楼房的阳台掉到楼外的人行道上时，受伤的程度将随高度的增加而减少，据报导有只猫从32层楼掉下来也仅仅只