[理学]动量传递2.ppt

§2.3 运动微分方程(奈维－斯托克斯方程Navier－Stockes) 2.3.1应用于流体的动量定律 将动量定律应用于流体微团的一般形式 采用Lagrange法，取随流体一起流动的固定质量的流体 微团 dxdydz 进行分析。 其边长分别为dx，dy，dz，密度为?，则其体积为 dxdydz，质量为?dxdydz=const. 流体微团(微元) 由于采用了拉格朗日法 ，牛顿第二定律可改写为： 写成分量的形式为 下面分别对等式两侧进行分析 2.3.2 质量力与表面力 ? (1) 质量力 质量力即为重力，作用在整个流体上的重力(外力)又称为体积力。作用在单位质量流体上的体积力在x, y, z方向上的分量用X，Y，Z表示，单位为N/kg，则作用在流体微团上的体积分力为； ? x方向： ，单位：N； y方向： ，单位：N； z方向： ，单位：N。 (2)表面力 表面力包括压力和摩擦力 单位表面积上的表面力称为表面应力。 表面应力的表达方法如下: 每个平面上的力可分为三个方向( x,y,z)上的力: 与平面垂直的称为法向应力，以?表示，单位为N/m2； 与平面平行的称为切向应力或剪应力，以?表示，单位为N/m2； 每个应力分量用双下标表示： 第一下标表示该力所在平面垂直的轴 第二个下标表示该力的方向 表面应力的表达方法 经过任一点在三个垂直作用面上有九个应力分量，即 作用在一个流体微元的六个面上有18个应力分量。 2.3.3 以应力表示的流体运动微分方程 按x,y,z三个方向分别考虑。 X方向： X方向上的各种表面力 质量力(体积力): 净表面力 将上述两项代入x方向的动量方程式，得 上述即为以应力表示的x方向的运动微分方程式。 同理得y、z方向的以应力表示的运动微分方程式为 2.3.4.切向应力与法向应力 (1)切向应力 可以证明： ?xy = ?yx ?yz = ?zy ?xz = ?zx 证明：对于微元体，假设表面力在表面上均匀分布，各表面上的合力通过表面中心。现考虑微元体中心平行于z轴轴线的力矩。 平行于中心轴和与中心轴相交的力不会产生力矩。 转动定律 ：力矩的和 = 转动惯量×转动加速度 力矩代数和为(逆时针为正)： 转动惯量 ＝ 质量 × 转动半径2 ＝ 转动加速度＝a 将上述各项代入转动定律，整理后得 当 时， ， 则 同理， ， 下面求切向应力表达式：以一维流动为例 其意义可用图表示。 经d?时间后，A-A’向前移动的距离为ux d?，B-B’向前移 动的距离为， 流体微元变化的角度为d?，因d?较小，可认为它与其正 切值相等， 则 ? 因此，剪应力可以用角度变化速率表示： ? 对于二维流动，如图所示，开始 微元为OACB，经d?后为O’A’C’D’ 二维流动微元的形变 角度变化为 则 而 则 同理， (2) 法向应力 法向应力的推导可参见有关文献，其结果为 其中，p为微元体所受到的压强。 对于理想流体，μ ＝ 0， 则 或 说明理想流体的法向应力就是压力。 对于实际流体， μ ? 0 ， 但仍有 将?xx、?yx、?zx代入X方向上的运动微分方程式并整理， 得， 对于不可压缩性流体，由连续性方程： 则 同理对y，z方向有 用向量式表示为 上式即为Navier-Stockes方程的通用表达式，又称为实 际流体的运动微分方程式。 各项含义： 左侧：单位体积流体所受的惯性力； 右侧第一项：单位体积流体的质量力； 第二项：单位体积流体表面上的净压力； 第三项：单位体积流体表面上的净粘 滞力； ? N-S方程的适用条件： 层流(因为引进了牛顿粘性定率)； 牛顿型流体(因为作为常数处理)； 不可压缩流体 动压梯度的概念： 流体中任意质点所受到的压强源于两种原因，一是流体 的质量力，二是流体的动能，所以流体所受到的压强可 以表示为 p = ps + pd 其中ps称为静压强，pd称为动压强。 于是 又因 (为什么？Tip:根据流体静力学