[理学]北航概率统计课件20.ppt

其中 为未知参数， 若总体X的概率密度为： 为样本观察值, 此时似然函数为： 求解方程组 即可得到极大似然估计 多参数情形的极大似然估计 * 数学上可以严格证明，在一定条件下，只要样本容量n足够大，极大似然估计和未知参数的真值可相差任意小。 * 例4：设 为正态总体 的一个样本值， 求: 和 的极大似然估计. 解 ：似然函数为 * 解方程组 得 这就是 和 的极大似然估计, 即 * 例5 设X为离散型随机变量,其分布律如下(0?1/2) X 0 1 2 3 P ?2 2(?-?2) ?2 1-2? 随机抽样得3，1，3，0，3，1，2，3，分别用矩方法和极大似然法估计参数?。 解： 例6 设总体X的概率密度为 又 为来自于总体X的样本值, 求参数?的极大似然估计。 解：令 似然函数为: * 当 时,L(?)是?的单调增函数, 处达到最大值， 所以?的极大似然估计: L(?)在 * 作 业 习题八 1，2，3，4 * “ ” “ ” 第八章 参数估计 * 参数估 计问题 假设检 验问题 点 估 计 区间估 计 统计 推断 的 基本 问题 * 什么是参数估计？ 参数是刻画总体某方面的概率特性的数量. 当这个数量是未知的时候，从总体抽出一个 样本，用某种方法对这个未知参数进行估计 就是参数估计. 例如，X ~N (? ,? 2), 点估计 区间估计 若?, ? 2未知，通过构造样本的函数, 给出它 们的估计值或取值范围就是参数估计的内容. * 参数估计的类型 点估计 —— 估计未知参数的值 区间估计—— 估计未知参数的取值范围， 使得这个范围包含未知参数 真值的概率为给定的值. * 一、点估计的思想方法 设总体X 的分布函数的形式已知，但它含有一个或多个未知参数：?1,?2, ?,?k 设 X1, X2,…, Xn为总体的一个样本 构造 k 个统计量： 随机变量 第一节 参数的点估计 * 当测得一组样本值(x1, x2,…, xn)时，代入上述 统计量，即可得到 k 个数： 数值 称数 为未知参数 的估计值 问题 如何构造统计量？ 对应的统计量 为未知参数 的估计量 * 1、矩方法；（矩估计） 2、极大似然函数法（极大似然估计）. 二.点估计的方法 1. 矩方法 方法 用样本的 k 阶矩作为总体的 k 阶矩的 估计量, 建立含待估计参数的方程，从而可解出待估计参数 * 一般地，不论总体服从什么分布，总体期望 ? 与方差? 2 存在，则根据矩估计法它们的 矩估计量分别为 注: 矩估计不唯一 * 事实上，按矩法原理，令 * 设待估计的参数为 设总体的 r 阶矩存在，记为 设 X1, X2,…, Xn为一样本，样本的 r 阶矩为 令 —— 含未知参数 ?1,?2, ?,?k 的方程组 * 解方程组，得 k 个统计量： ——未知参数?1,?2, ?,?k 的矩估计量 ——未知参数?1,?2, ?,?k 的矩估计值 代入一组样本值得k个数: * 例1 有一批零件，其长度X~N(?,?2)，现从中任取4件，测的长度(单位：mm)为12.6,13.4,12.8,13.2。试估计?和?2的值。 解： 由 得?和?2的估计值分别为13(mm)和0.133(mm)2 * 例2 设总体X的概率密度为 X1,X2,?,Xn为来自于总体X的样本,x1,x2, ?,xn为样本值,求参数?的矩估计。 解： 先求总体矩 * 为?的矩估计量, 为?的矩估计值. 令 * 例3 设总体X的概率密度为 求?的矩估计量 解法一 虽然 中仅含有一个参数?，但因 不含?,不能由此解出?,需继续求总体的二阶原点矩 * 解法二 即 用 替换 即得?的另一矩估计量为 得?的矩估计量为 用 替换 即 * 你就会想,只发一枪便打中,猎人命中的概率一般大于这位同学命中的概率.看来这一枪是猎人射中的. 先看一个简单的例子: 某位同学与一位猎人一起外出打猎,一只野兔从前方窜过.只听到一声枪响,野兔应声倒下.如果要你推测,是谁打中的呢？你会如何想呢？ 这个例子所作的推断已经体现了极大