[理学]北邮 通信工程 数理方程 讲义 第二章上.ppt

注意n从0开始计。 将（2.1.33）代入（2.1.31），解得 于是，原方程满足边界条件的一般解为 其中 .将这些解叠加起来，得到 根据初始条件 由Fourier余弦展开定理，有 故得原定解问题的解为 由此可见，本征函数和定解问题解的形式与边界条件密切相关. 下面我们列出用分离变量法求解定解问题的基本步骤： （1）首先将问题中的偏微分方程通过分离变量化成常微分方程的定解问题，对于线性齐次常微分方程来说是可以办到的； （2）确定固有值与固有函数。由于固有函数是要经过叠加的，所以用来确定固有函数的方程和边界条件，当函数经过叠加之后，仍要满足。当边界条件是齐次时，求固有函数就是求一个常微分方程（其通解可用Maple来求）满足零边界条件的非零解。 （3）定出固有值、固有函数后，再解其它常微分方程（也可以用Maple来求），把得到的解与固有函数乘起来成为本征解，这时中还包含有任意常数。 （4）最后，为了使解满足其余的定解条件，需要把所有的叠加起来成为级数形式，这时级数中的一系列任意常数就由其余的定解条件来确定。在这最后的一步工作中，需要把已知的函数展开成固有函数系的级数，这种展开的合理性将在第4章中论述，而其中的展开式系数可以用Maple来计算。 §2.2 二维Laplace方程的定解问题 例1 在矩形域 内求Laplace 方程 的解，使其满足边界条件 (2.2.1) 解 令 ，代入式(2.2.1)， 得 (2.2.4) (2.2.5) 又由边界条件(2.2.3)得 (2.2.6) 式（2.2.4）和（2.2.5）构成本征值问题。采用与§2.1同样的方法可以得到： 当 时，式(2.2.5)的通解为 由式(2.2.6)有 由此得 ，即式(2.2.5)、(2.2.6)无非零解． 当 时，式(2.2.5)的通解为 从而 由 ，故得 当时，式(2.2.5)的通解为 从而 由 得B=0 ，由 得 ，故有 ， 即 综合 和 两种情况，可知，本征值为 本征函数为 将 的值代入式(2.2.4)，解得 故问题的一般解为 由边界条件 得到 一个无穷级数等于零，说明各项系数均为零，因此 又由 得 将Ay展开成Fourier余弦级数，并比较系数有 由此得 . 上面两式的积分可以用Maple来计算. 从式(2.2.8)和(2.2.9)中解出 也可用Maple来完成： solve({C[n]+D[n]=0,C[n]*exp(n*Pi*a/b)+D[n]*exp(n*Pi*a/b)=2*A*b/(n^2*Pi^2)*(cos(n*Pi)-1)},[C[n],D[n]]); 整理一下，得 代入式(2.2.7)得问题的解为 有些问题中的边界条件在极坐标下的表达式较为简单，所以常常需要在极坐标下求解定解问题，看下面的例题。 例2 带电云与大地之间的静电场近似匀强静电场，其电场强度 是铅垂的．水平架设的输电线处在这个静电场中．输电线是导体圆柱．柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱附近的静电场也就不再是匀强的了．不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持匀强，现研究导体圆柱怎样改变了匀强静电场（即讨论导线附近的电场分布）． 解： 建立如图所示坐标系，Z-轴沿导线。 导线 由于导线无限长，可将电场看作沿z 方向不变。只需要研究 x-y 平面的状态 ，平面问题。 解 真空静电势满足拉普拉斯方程： 边界条件从云、地、导线三方面考虑 导线的表面是等势面，取其为电势零点 a为导线半径 云、地在无穷远处，由 ，可得， 为原电场强度 根据导线边界条件，本题应取平面极坐标， 重写方程和定解条件如下 用分离变量法求解，令 ，坐标原点在导线中心。 代入方程，得 两边除以u，得 于是，有 这样得到两个常微分方程 由自然周期边界