[理学]同济大学 高数 极值与最值.ppt

3. 函数的最值问题 作业 备用题 1. 求半径为R 的圆的内接三角形中面积最大者. 注 2. 求平面上以 偶数 奇数. 偶数 奇数. 为 为 为 为 为 为 偶数时, 有 极大值 奇数时, 有 极小值 当 当 内容小结 1. 函数的极值问题 第一步 利用必要条件在定义域内找驻点. 即解方程组 第二步 利用充分条件 判别驻点是否为极值点 . 2. 函数的条件极值问题 (1) 简单问题用代入法 如对二元函数 (2) 一般问题用拉格朗日乘数法 设拉格朗日函数 如求二元函数 下的极值, 解方程组 第二步 判别 ? 比较驻点及边界点上函数值的大小 ? 根据问题的实际意义确定最值 第一步 找目标函数, 确定定义域 ( 及约束条件) 在条件 求驻点 . P117 3, 5, 8 习题课 注 解: 设内接三角形各边所对的圆心角为 x, y, z, 它们所对应的三个三角形面积分别为 设拉氏函数 解方程组 , 得 故圆内接正三角形面积最大 , 最大面积为 注 则 因此前者不可能为圆内接三角形中面积最大者. 若?ABC 位于半圆内(如图) , 则其BC 边上的高 小于?A1BC 同边上的高, 故前者的面积小于后者， 为边的面积最大的四边形 , 试列出其目标函数和约束条件 ? 提示: 目标函数 : 约束条件 : 答案: 即四边形内接于圆时面积最大 . * 目录 上页 下页 返回 结束 第九章 第八节 一、多元函数的极值 二、最值应用问题 三、条件极值 多元函数的极值及其求法 一、 多元函数的极值 定义: 若函数 则称函数在该点取得极大值 例如 : 在点 (0,0) 有极小值; 在点 (0,0) 有极大值; 在点 (0,0) 无极值. 极大值和极小值 统称为极值, 使函数取得极值的点称为极值点. 的某 邻域 (极小值). 去心 内有 提示: 由题设 例1. 已知函数 (D) 根据条件无法判断点(0, 0)是否为f (x,y) 的极值点. 则( ) 的某个邻域内连续, 且 A (2003 考研) 说明: 使偏导数都为 0 的点称为驻点 . 例如, 定理1 (必要条件) 函数 偏导数, 证: 据一元函数极值的必要条件可知定理结论成立. 取得极值 , 取得极值 取得极值 但驻点不一定是极值点. 有驻点( 0, 0 ), 但在该点不取极值. 且在该点取得极值 , 则有 存在 故 时, 具有极值 定理2 (充分条件) 的某邻域内具有一阶和二阶连续偏导数, 令 则: 1) 当 A0 时取极大值; A0 时取极小值. 2) 当 3) 当 证明见 第九节(P121) . 时, 没有极值. 时, 不能确定 , 需另行讨论. 若函数 且 例2. 求函数 解: 第一步 求驻点. 得驻点: (1, 0) , (1, 2) , (–3, 0) , (–3, 2) . 第二步 判别. 在点(1,0) 处 为极小值; 解方程组 的极值. 求二阶偏导数 在点(?3,0) 处 不是极值; 在点(?3,2) 处 为极大值. 在点(1,2) 处 不是极值; 例3.讨论函数 及 是否取得极值. 解: 显然 (0,0) 都是它们的驻点 , 在(0,0)点邻域内的取值 , 因此 z(0,0) 不是极值. 因此 为极小值. 正 负 0 在点(0,0) 并且在 (0,0) 都有 可能为 例4. 求函数 的极值. 例5. 设 由方程 确定, 求函数 的极值. 例4. 解: 得驻点: 令 在点 处 为极大值. 在点 处 故 故 不是极值。 例5. 解: 令 则 令 得: 代进 方程 得 解 得 在点 在点 处 处 故 为极大值. 故 为极小值. 二、 最值应用问题 函数 f 在有界闭域上连续 函数 f 在闭域上可达到最值 最值可疑点 驻点 边界上的最值点 特别, 当区域内部最值存在, 且只有一个极值点P 时, 为极小值 为最小值 (大) (大) 依据 最值 和 例6 求函数 在闭域 上最值. 解: 由 得 驻点： 内 边界 在 上: 在 上 有 令 得 在 闭域 上 故 ① ② ③ 例7. 解: 设水箱长,宽分别为 x , y m ,则高为 则水箱所用材料的面积为 令 得驻点 某厂要用铁板做一个体积为2 根据实际问题可知最小值在定义域内应存在, 的有盖长方体水 箱,问当长、宽、高各取怎样的尺寸时, 才能使用料最省? 因此可 断定此唯一驻点就是最小值点. 即当长、宽均为 高为 时, 水箱所用材料最省. 例8. 有一宽为 24cm 的长方形铁板 , 把它折起来做成 解: 设折起来的边长为