[理学]复变函数工科第二讲1.ppt

* 三、小结与思考 应熟练掌握复数乘积与商的运算. 在各种 形式中以三角形式、指数形式最为方便: 棣莫佛(de Moivre)公式 放映结束，按Esc退出. 第四节 复平面的区域 一.平面点集的有关概念 1. 邻域：平面上以 z0为中心, 以d (任意的正数)为半径的开圆: |z-z0|d 内部的点的集合称为z0的邻域。 去心邻域：由不等式 0|z-z0|d 所确定的点集称为 z0 的去心邻域。 δ z0 ?开集：设G为一平面点集, z0为G中任意一点. 如果存在 z0 的一个邻域, 该邻域内的所 有点都属于G, 则称 z0为G的内点. 2.开集与闭集 ?闭集：平面上不属于G的点的全体称为G的余集， 记作 ,开集的余集称为闭集。 ?边界：设D为复平面内的一个区域, 若在点z0的任 一邻域内既有G的点,又有 的点，则称z0 是G的边界点. G的所有边界点组成G的边界。 如果G内的每个点都是它的内点, 则称G为开集 ? 孤立点: z0 属于G, 若在 z0的某一邻域内除 z0 外 不含G的点，则称 z0为G的一个孤立点。 孤立点一定是G的边界点。 ?有界集：若存在一个以 z = 0为中心的圆盘包含G， 则称G为有界集，否则称G为无界集。 G 孤立点 边界 邻域 z0 例题: R 3.区域 平面点集D满足下列两个条件，则称之为区域： 1) D是一个开集; 2) D是连通的。 (即：D中任何两点都可以用完全属于D 的 一条折线连接起来) D z1 z2 区域 区域D和它的边界构成闭区域或闭域，记作： 故：区域就是连通开集 例题： ?表示方法： a、参数方程：z(t)=x(t)+iy(t) b、动点 z 所满足的关系式 ?光滑曲线：如果在闭区间[a,b]上Re z(t)和 Im z(t)都是连续的，且它们的 导函数恒不为零，则称此曲线 为一条光滑曲线。 类似地，可以定义分段光滑曲线。 4. 平面曲线 ?简单曲线：设C: z = z(t) (a?t?b)为一条连续曲线, z(a)与z(b)分别为C的起点与终点 对于满足 at1b, a?t2?b 的 t1与 t2, 当 t1?t2 但 z(t1) = z(t2) 时, 点 z(t1)称为曲线 C 的重点. 没有重点的连续曲线 C, 称为简单曲线或 若当(Jardan)曲线 z(a)=z(b) 简单,闭 z(a) z(b) 简单,不闭 z(a)=z(b) 不简单,闭 不简单,不闭 z(a) z(b) ?若当曲线定理: 任一简单闭曲线把平面分成两个区域，它们都以该曲线为边界，其中一个为有界区域，称为该简单闭曲线的内部；另外一个为无界区域，称为外部。 简单闭曲线的这一性质, 其几何直观意义是很清楚的. 内部 外部 C 如果对区域 D内的任一条简单闭曲线的内部总属于D, 则称D为单连通区域。 一个区域若不是单连通区域, 就称为多(复)连通区域. 单连通区域 多连通区域 5. 连通区域 * 二、复球面 1. 南极、北极的定义 * 球面上的点, 除去北极 N 外, 与复平面内的点之间存在着一一对应的关系. 我们可以用球面上的点来表示复数. 我们规定: 复数中有一个唯一的“无穷大”与复平面上的无穷远点相对应, 记作?. 因而球面上的北极 N 就是复数无穷大?的几何表示. 球面上的每一个点都有唯一的复数与之对应, 这样的球面称为复球面. 2. 复球面的定义 * 3. 扩充复平面的定义 包括无穷远点在内的复平面称为扩充复平面. 不包括无穷远点在内的复平面称为有限复平面, 或简称复平面. 对于复数?来说, 实部,虚部,辐角等概念均无意义, 它的