[理学]大一高数课件第一章 1-1-1.ppt

函数与极限 第一节 函数 一、基本概念 二、函数概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结 一、基本概念 三、函数的特性 四、反函数 五、小结 直接函数与反函数的图形关于直线 对称. 反函数的特点 1.反函数是相互称呼的； 2.互为反函数的两个函数的图形关于 3.直接函数的定义域、值域分别是反函数的值域和定义域； 4.单值、单调函数的反函数也是单值、单调函数，并且具 有相同的单调性。 基本概念 集合, 区间, 邻域, 常量与变量, 绝对值. 函数的概念 函数的特性 有界性,单调性,奇偶性,周期性. 反函数 思考题 思考题解答 设 则 故 练 习 题 二、证明 在 三、证明任一定义在区间 示成一个奇函数与一个偶函数之和. 上的单调性. 上的函数可表 * * * 《高等数学》是研究变量及变量间依赖关系的一门数学课程。它的内容包括一元及多元函数微积分学、空间解析几何、无穷级数和微分方程。 《高等数学》共讲授192学时，共计12学分 《高等数学》的研究方法主要应用极限法。 前言 第一章 函数与极限 1.集合: 具有某种特定性质的事物的总体. 组成这个集合的事物称为该集合的元素. 有限集 无限集 数集分类: N----自然数集 Z----整数集 Q----有理数集 R----实数集 数集间的关系: 例如 不含任何元素的集合称为空集. 例如, 规定 空集为任何集合的子集. 2.区间: 是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点. 称为开区间, 称为闭区间, 称为半开区间, 称为半开区间, 有限区间 无限区间 区间长度的定义: 两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度. 3.邻域: 即 当不必强调指出邻域和去心邻域的半径时, 将邻域和去心邻域简记为 和　 　. 注意 4.常量与变量: 在某过程中数值保持不变的量称为常量, 注意 常量与变量是相对“过程”而言的. 通常用字母a, b, c 等表示常量, 而数值变化的量称为变量. 常量与变量的表示方法： 用字母x, y, t 等表示变量. 5.绝对值: 运算性质: 绝对值不等式: 二、函数概念 例1 考虑圆面积 与它的半径 之间的相依关系 内每取定一数值，变量 的数值与其对应。 通过上面等式有一 确定 例2 考虑自由落体运动。设物体下落时间为 ，落下的距离为 假设开始下落时 则 与 的相依关系为 假设落地所需时间为 则 在 内每取一数值，由上式就可确定下落距离 的相应数值. 因变量 自变量 数集D 叫做这个函数的定义域 如果对于 变量 按照一定法则总有 确定的数值和它对应， 自变量 因变量 对应法则f 函数的两要素: 定义域与对应法则. 约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切 实数值. 定义: 　　如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数． (1) 符号函数 几个特殊的函数举例 1 -1 x y o 1 2 3 4 5 -2 -4 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1 -3 x y o 阶梯曲线 例如 (2) 取整函数 表示不超过 的最大整数 有理数点 无理数点 ? 1 x y o (3) 狄利克雷函数 在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数. (4) 分段函数 例1 解 故 M -M y x o y=f(x) X 有界 无界 M -M y x o X 1．函数的有界性: 2．函数的单调性: x y o 则称 是单调增加的； x y o 3．函数的奇偶性: 偶函数 y x o x -x 注意： 偶函数的图形关于 轴对称 奇函数 y x o x -x 注意： 奇函数的图形关于 原点对称 4．函数的周期性: （通常说周期函数的周期是指其最小正周期）. D W D W * *