[理学]大学数学精彩案例.ppt

润物细无声：应用案例   子空间概念的应用 un= b1un-1+b2un-2+…+bkun-k ? 线性移位寄存器序列 4 阶幻方构造法 4 x + ?同加1? 随风潜入夜:概念的引入 方程个数的真与假 方程组 有几个方程？ 3个? 2个? 方程组线性相关 ? 有多余的方程（是其余方程的线性组合） 删去多余的方程 ---- 打假 将打假进行到底? 极大线性无关组 剩下的方程的个数---- 秩rank 线性代数 空间为体, 矩阵为用 研究对象----几何：线性空间(向量) 研究工具----代数：矩阵运算 向量 (问题) ? 矩阵语言描述 ? 矩阵运算解决 ? 向量(解答) 与微积分的关系: 非线性 --微积分? 线性 --线性代数? 隐函数存在定理 F(x,y) 在某点P0可微 何时由 F(x,y)=0 确定 y=f(x)? 线性化: y=f(x) 在 x0 可微, 导数为 隐映射定理 可微函数 n 个方程 =0 , 线性化 即 当 det B 时有唯一解 一元微积分 物理：以匀速代替非匀速 几何：以直代曲（只能看不能算） 代数：以线性代替非线性 例. 自由落体 x = 4.9 t2 . 求t 秒末的速度. 解： x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2 =4.9 t2 +9.8t(Dt)+4.9(Dt)2 线性化： x(t+Dt) ≈ 4.9 t2 +9.8t(Dt) 误差4.9(Dt)2 : Dt 的无穷小倍 = o(Dt). 速度vt= 一次项系数 9.8t = 导数 几何:以直代曲 抛物线 x = 4.9(t + Dt)2 在点(t, 4.9t2)附近 被切线 x = 4.9t2 + 9.8Dt 近似代替 速度v1 =切线斜率 此几何意义与 x,t 的物理意义无关 可以推广到别的 函数 y = f(x) 微分与导数 函数 y = f(x) 在 x=a 附近线性化。 函数增量 Dy = f(x)-f(a),自变量增量Dx=x-a Dy ≈ k Dx ， 误差:Dy–kDx = o(Dx) 微分: dy = kDx 导数: = k,记为 f ’(a) =变化率=切线斜率. 一次函数代替 f(x): y=f(x) ≈f(a) + f ’(a) Dx 误差的代数理论 约等式 Dy= f(x)-f(a)≈ k Dx 与 y = f(x) ≈ f(a) +f ’(a)Dx 的 误差 能否将 f(x) ≈ f(a) +f’(a)Dx 与 g(x) ≈ g(a) +g’(a)Dx 加、减、乘得到： f(x) ±g(x) ≈ f(a) ±g(a)+(f’(a)±g’(a)) Dx f(x)g(x) ≈ f(a)g(a) +(f(a)g’(a)+g(a)f’(a)) Dx ? 约等式的缺陷：一般不像等式那样具有传递性，不能像等式那样加、减、乘。 假作真时貌似真 极限： f(x)? A 即: f(x)=A+q,q无穷小(?0). 若 f(x)?A, g(x)?B f(x)g(x)= (A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2? AB 无穷小的代数性质 (同济. 用 e-d语言证明.) 可以将 q1, q2看成 0，略去不写 写 f(x) ≡A, g(x) ≡B, 像等式一样加、减、乘 得到 f(x) ±g(x) ≡ A ± B, f(x)g(x) ≡ AB 即f(x) ±g(x) ? A ± B, f(x)g(x) ?AB . 被忽略的元素集合={无穷小}= O(Dx) 微分：Dy≡dy （mod o(Dx)) f(x) ≡f(a)+f ’(a)Dx（mod o(Dx)) 多项式的导数 . 多项