[理学]大学物理 2刚体振动和波部分.doc

第六章 刚体运动学 第一节．刚体和自由度的概念 刚体：物体上任意两点间的距离保持不变。 通俗地说：大小和形状保持不变的物体。 刚体和质点都是对实际物体的抽象。刚体考虑了物体的体积效应，但忽略了物体的形变。与质点相比，刚体更加接近实际物体。 自由度：确定一个物体的位置所需要的独立坐标数。 质点的位置：x，y，z三个空间坐标，3个自由度。 刚体的运动：任意点的平动＋绕该点的转动 点的平动：3个自由度；绕定点转动：3个自由度，6个自由度。 第二节 刚体的平动 运动过程中，刚体上任意一条直线始终保持和自身平行—平动。 平动时，刚体上各点的运动轨迹都相同。因此只要知道某一点的运动状态就知道了整个刚体的运动状态。 为常矢量， 再对时间求导得： 可见，刚体作平动时，各点的速度和加速度都相同。 书中例题5.1(P.182) 装置如图，曲柄长度为r，与x轴的夹角φ＝ωt，其中ω为常量。 求：T形连杆在t时刻的速度和加速度。 解：T形连杆的运动为平动，∴连杆上任意点的速度和加速度都相同。以杆上M点为研究对象： x＝rcosωt 对时间t求导得速度和加速度： v＝－rωsinωt a＝－rω2cosωt 第三节 刚体绕定轴转动 定轴转动的实例很多：电机转动，开关门，等等。 刚体绕一固定轴转动，转过的角度θ称为角位移。 角位移的单位：rad（弧度） ；角位移的方向：右手定则， 符合右手定则的方向为“＋”；反之为“－” 角位移随时间的变化关系表示为： θ＝f（t） 角速度：描述刚体转动快慢的物理量。 单位：rad/s （弧度/秒） ；方向：右手定则 角速度是角位移随时间的变化率： 角加速度：描述刚体角速度变化快慢的物理量。 单位：rad/s2 （弧度/秒2）；方向：右手定则 角加速度是角速度随时间的变化率： 定轴转动是一维运动，当函数给定后，和直线运动的情况基本相同。 生活中描述转动方向按顺时针和逆时针方向。 物理中描述转动方向按右手定则。 工程上转速的单位经常用：转/分钟 （r/min） 最常用的电机转速为：3000转/分钟 发电机的转速：50转/秒＝3000转/分钟 书中例题5.2(P.184) 飞轮的角速度在12s内由1200r/min均匀地增加到3000r/min。 求：（1）飞轮的的角加速度；（2）在这段时间飞轮转过的圈数。 解：先将单位由 转/分 换成 弧度/秒 ω1＝1200×2π/60＝40π (rad/s) ω2＝3000×2π/60＝100π (rad/s) ∵匀加速，t＝12s， ∴β＝（ω2－ω1）/t＝（100－40）π/12＝5π＝15.7(rad/s2) 角速度随时间的变化关系可通过β积分和初条件求得： 当t＝0时，ω＝ω1 ∴ω＝ω1＋βt 角位移随时间的变化关系可通过ω积分和初条件求得： 其中c’由初条件确定。 因为要求的是12s内转过的角度，可令t＝0时，θ＝0，代入得c’＝0 ∴ 换算成圈数为：（圈） 第四节 角量与线量的关系 定轴转动中，刚体上一点到转轴的距离为r，该点线量度和角量之间的关系为： S＝θr ；v＝ωr ；a切向＝βr ；a法向＝v2/r＝ω2r2/r＝ω2r 由于刚体没有形变，所以刚体的法向加速度不重要。 考虑方向后： s＝θ×r v＝ω×r a＝β×r 作业：P. 191 5.9 ; 5.10 第七章 刚体动力学 第一节 刚体定轴转动与转动定理 复习： 力矩定义： 动量矩定义为： 动量矩定理： 将刚体看成由一组特殊的质点组成，其特殊性就是：任意两质点间的距离保持不变。对于质点组中任意一个质点i，可根据动量定理写出它所受到的力矩与动量矩之间的关系： 其中Mi为质点i所受的力矩，包括外力作用在该质点的力矩Mi外和质点组内相互作用的的力矩Mi内。 ∴ (1) 对质点组中每一个质点求和得： (2) 在刚体内部，作用力与反作用力总是成对出现的，并且大小相等，方向相反，作用在一条直线上，这对力所产生的力矩也是大小相对，方向相反的。因此，所有内力矩的求和为0。。 刚体在做定轴转动是一维问题，角速度ω的方向为z轴方向，ri与vi总是互相垂直的，ri×vi的方向为z轴方向，ri×vi的大小为rivisin90o＝rivi ； ∴ 因为刚体中任意两质点间的距离保持不变，∴miri均为常量，且vi＝ωri，可得： 其中为角加速度，表示和外力矩，则(2)式为： (3) 令 ，则(3)式写成： M=Jβ (4) —— 刚体转动定理 对比牛顿第二定律 F=ma m是描述物体惯性的物理量，J也是描述物体惯性的物理量，并且是描述物体转动时的惯性，称为转动惯量。 第二节 转动惯量 转动惯量的定义： 对于连续的刚体： 从转动惯量的定义可以看到