[理学]大学物理第二章 行波_波动方程.ppt

第二章 波动学基础 §2.1 行波 一．机械波的产生 二．描述波的物理量 §2 .2 平面简谐波 一．波函数 二．波动曲线 §2 .3 波动方程 作业：2.3、 2.6、2.7 例3:在下面几种说法中正确的是: 由假设，在振动传播过程中，媒质并不吸收 振动的能量，所以各质元的振动的振幅相等。 则当 o 点质元的振动以波速 u 传到任一点P 时 ● ● P 点质元将以相同的振幅和频率， 重复 o 点质元的振动， 但 P 点振动的位相要比 o 点落后。 由于沿波传播方向每隔一个波长 λ ， 位相就要落后 2π ，每隔单位长度位相落后 2π∕λ 设 P 点距 o 点的距离为 x， P 点振动的位相要比 o 点落后 x 2π ∕λ ● ● P 点振动的位相要比 o 点落后 x2π ∕ λ ● ● t 时刻o 点质元的振动位相： t 时刻 P 点质元的振动位相： ● ● 结果： t 时刻 P点质元振动的振幅和频率与o 点相同， P 点振动的位相 t 时刻 P点质元振动的表达式： ● ● 因为P点是任选的，上式就是 x 轴上任意质元 的振动表达式，即平面简谐波的波函数 利用关系 波函数还有其它形式 令 波数 讨论 平面简谐波波函数的物理意义 当 x 一定时， 即对于某一确定位置（ x＝x0 ）的质元。 波函数给出了x＝x0 处质元作简谐振动的表达式 当 t 一定时，即对于某一确定时刻（ t ＝ t0 ）。 波函数给出了t0 时刻各个质元离开平衡位置的位移 当x、t 变化时， 波函数给出了任意 x 处质元在任意 t 时刻 离开平衡位置的位移 表达式也反映了波是振动状态的传播 ● ● ● 沿负向传播的平面简谐波的表达式 ● ● 二．波动曲线 根据波动表达式 以 t 时刻，质元的平衡位置 x 为横坐标， 以质元离开平衡位置的位移y 为纵坐标， 画出的曲线，叫t 时刻波形曲线。 x y o u → t x y o t u → 波形曲线上两相邻波峰或波谷之间的距离 等于一个波长，表示一个周期内波传播的距离。 波形曲线上波峰或波谷的纵坐标的绝对值 等于波的振幅，表示质元离开平衡位置的最大位移。 -A A λ λ x y o t u → λ t＋Δt o -A A 不同时刻对应有不同的波形曲线 将平面简谐波的波函数分别对 t 及 x 求两次偏导数 比较两式 波动方程的运动学推导 §2.4 波动方程 ——波动方程 注意： 波动方程是由平面简谐波推导出的， 但对其它平面波仍然成立， 从数学上，平面简谐波波函数 只是上述波动方程的一个特解。 ——波动方程 波动方程的动力学推导 以平面波在固体细长棒中的传播为例 以上是按运动学的观点来讨论波动过程的传播规律， 还可以进一步从动力学的观点，更本质地分析 波动方程的意义. 设有一截面积为S ，密度为ρ 的固体细棒， 一平面纵波沿棒长方向传播。 当有纵波传播时，该体积元发生线变， 设 t 时刻体积元正被拉长(先做力分析—应力分析）： 这一体积元的长度为 dx，体积 选棒长的方向为 x 轴，在棒上距 o 点 x 处附近 取一体积元 ab ， ● ● ● ● 左端受到应力为σ，方向向左； 右端受到应力为 σ＋dσ ，方向向右； ● ● ● ● 应力是 x 和 t 的函数 t 时刻体积元所受合力 体积元质量为 根据牛顿第二定律有 ● ● ● ● ● ● ● 在应力作用下体积元发生线变（分析长度方向的变化—应变分析）： a 端发生的位移为 y ， b 端发生的位移为 y ＋dy 由图上几何关系，体积元长度变化为 dy t 时刻 由图上几何关系，体积元长度变化为 dy ● ● ● ● ● ● ● t 时刻 体积元的原长dx 体积元的应变为 由胡克定律 杨氏模量。 ● ● ● ● ● ● ● t 时刻 牛顿第二定律 应力公式 速度公式 例1. ⑴ o 点振动表达式； ⑶ P 点振动表达式； ⑹ Q，P 点的位相差 ⑵ 波函数 ⑷ Q 点振动方向 ⑸ P 点振动方向； x y o ● ● m m ⑴ o 点振动表达式； 解： 设 o 点振动表达式 x y o ● ● 由波形图 * 振动在空间的传播过程叫做波动 第二章 波动学基础 机械振动在媒质中的传播称为机械波。 如声波、水波、地震波等 变化电场或变化磁场在空间的传播称为电磁波。 如无线电波、光波、等 虽然各类波的本质不同，各有其特殊的性质和规律， 但在形式上它们也具有许多共同的特征。 如都具有一定的传播速度，都伴随着能量的传