[理学]大学高数同济大学出版第六版上册第三章课后习题解析.doc

习题3-1 1. 验证罗尔定理对函数y=ln sin x 在区间上的正确性. 解 因为y=ln sin x 在区间上连续, 在内可导, 且, 所以由罗尔定理知, 至少存在一点, 使得y?(x)=cot x=0. 由y?(x)=cot x=0得. 因此确有, 使y?(x)=cot x=0. 2. 验证拉格朗日中值定理对函数y=4x3-5x2+x-2在区间[0, 1]上的正确性. 解 因为y=4x3-5x2+x-2在区间[0, 1]上连续, 在(0, 1)内可导, 由拉格朗日中值定理知, 至少存在一点x?(0, 1), 使. 由y?(x)=12x2-10x+1=0得. 因此确有, 使. 3. 对函数f(x)=sin x及F(x)=x+cos x在区间上验证柯西中值定理的正确性. 解 因为f(x)=sin x及F(x)=x +cos x在区间上连续, 在可导, 且F?(x)=1-sin x在内不为0, 所以由柯西中值定理知至少存在一点, 使得 . 令, 即. 化简得. 易证, 所以在内有解, 即确实存在, 使得 . 4. 试证明对函数y=px2+qx+r应用拉格朗日中值定理时所求得的点总是位于区间的正中间. 证明 因为函数y=px2+qx+r在闭区间[a, b]上连续, 在开区间(a, b)内可导, 由拉格朗日中值定理, 至少存在一点x?(a, b), 使得y(b)-y(a)=y?(x)(b-a), 即 (pb2+qb+r)-(pa2+qa+r)=(2px+q)(b-a). 化间上式得 p(b-a)(b+a)=2px (b-a), 故. 5. 不用求出函数f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)的导数，说明方程f ?(x)=0有几个实根, 并指出它们所在的区间. 解 由于f(x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)内可导, 且f(1)=f(2)=0, 所以由罗尔定理可知, 存在x1?(1, 2), 使f ?(x1)=0. 同理存在x2?(2, 3), 使f ?(x2)=0; 存在x3?(3, 4), 使f ?(x3)=0. 显然x1、x2、x 3都是方程f ?(x)=0的根. 注意到方程f ?(x)=0是三次方程, 它至多能有三个实根, 现已发现它的三个实根, 故它们也就是方程f ?(x)=0的全部根. 6. 证明恒等式: (-1?x?1). 证明 设f(x)= arcsin x+arccos x. 因为 , 所以f (x)?C, 其中C是一常数. 因此, 即. 7. 若方程a0xn+a1xn-1+ ? ? ? + an-1x=0有一个正根x0, 证明方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + ? ? ? +an-1 =0 必有一个小于x0的正根. 证明 设F(x)=a0xn+a1xn-1+ ? ? ? + an-1x, 由于F(x)在[0, x0]上连续, 在(0, x0)内可导, 且F(0)=F(x0)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x?(0, x0), 使F ?(x)=0, 即方程 a0nxn-1+a1(n-1)xn-2 + ? ? ? +an-1 =0 必有一个小于x0的正根. 8. 若函数f(x)在(a, b)内具有二阶导数, 且f(x1)=f(x2)=f(x3), 其中ax1x2x3b, 证明: 在(x1, x3)内至少有一点x, 使得f ??(x)=0. 证明 由于f(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f(x1)=f(x2), 根据罗尔定理, 至少存在一点x1?(x1, x2), 使f ?(x1)=0. 同理存在一点x2?(x2, x3), 使f ?(x2)=0. 又由于f ?(x)在[x1, x2]上连续, 在(x1, x2)内可导, 且f ?(x1)=f ?(x2)=0, 根据罗尔定理, 至少存在一点x ?(x1, x2)?(x1, x3), 使f ??(x )=0. 9. 设a?b?0, n1, 证明: nbn-1(a-b)an-bnnan-1(a-b) . 证明 设f(x)=xn, 则f(x)在[b, a]上连续, 在(b, a)内可导, 由拉格朗日中值定理, 存在x?(b, a), 使 f(a)-f(b)=f ?(x)(a-b), 即an-bn=nx