[理学]大学高等数学 练习册习题解答1.ppt

五.求 的递推公式 解: 六.已知 上点处切线的斜率为 ，且曲线过点(-2，0)，(2, ),求这曲线方程. 方法一：解: 由题意知 方法二：解： 七.用两种方法求不定积分 解：方法一： 设 方法二：解：由题意知： y 八.证明是的原函数 是 的原函数 八.证明是的原函数 是 的原函数 求下列极限 P51练习解答. P52练习解答. P52练习解答. P52练习解答. P52练习解答. P53练习解答. P53练习解答. * 可产生循环现象的情况: 特定三角代换 又曲线过点 万能公式 倒置代换 6.证明：令f(?x)=xp+(1-x)p， f(?x)连续、可导 f’(x)=pxp-1-p(1-x)p-1 令fˊ(x)=0,得x=?（唯一驻点） f(1)= f(0)=1, f(?)= 21-P ∴最大值为1，最小值 21-P ∴21-P≤XP+(1-X) P≤1 P58-P59练习解答. 7．解：两边取导数,得 2x - (y + x y’)+ 2y y’=0 整理得yˊ=( y-2x) /(2 y－X) 令 yˊ=( y-2x)/(2 y－x)=0 得y=2X (y ?x / 2) 将y=2x代入x2-xy+y2=3中,得X=±1 此时y=±2 ∴x2-xy+y2=3上点的纵坐标y的最大值为2,最小值为-2 P58-P59练习解答. P58-P59练习解答. (2)解: yˊ=e-x+x. e-x(-1)= e-x- x. e-x y = -e-x-( e-x- x. e-x)=-2·e-x+ x. e-x 令y=0 得x=2 ∴(-∞,2) 2 (2,+∞) y - 0 + ∴凹区间(2,+∞) 凸区间(-∞,2) x=2为拐点 P58-P59练习解答. 2,（1）解：当x→0时，y→-∞ ∴x=0是函数曲线的一条铅直渐近线 当x→1+时，y→-∞ 当x→1-时，y→+∞ ∴x=1也是函数的一条铅直渐近线 当x→∞时，y→0 ∴y=0是函数的一条水平渐近线 P58-P59练习解答. （2）解：当x→1时，y→∞ ;当x→2时，y→∞ ∴x=1，x=2均为函数曲线的铅直渐近线 设斜渐近线方程式为y=ax+b ∴斜渐近线为y=-x-3 P58-P59练习解答. 4.解: 原方程可变形为 ：ax3+1=x2 . 令f(x)=ax3-x2+1 , 在R上连续可导。 首先考虑a0，f(0)=1及 f(＋∞)=- ∞， f(x)连续性，f(x)=0必有正实根； 又当a0且x0, f′(x)=3ax2-2x 0 。 ∴当x0,函数f(x)严格单调递减，正实根唯一 其次考虑a=0时，显然有唯一正实根。 最后考虑a0时，令f′(x)=3ax2-2x=0， 则x=0(舍去) 或 x=2/3a。 P57-P58练习解答. ∵f ”(2/3a)=40 ∴当x= 2/3a时，f(x)取极小值 又∵当f(2/3a )=0时，方程有唯一实根 由f(2/3a)=a·8/27a3-4/9a2+1=0 解得a= 。 ∴当a≤0或a= 时，方程有且仅有一个实根 。 P57-P58练习解答. 5. 解：y′=5/(x+4)2 当x∈[0,4]时,y′0 ∴原函数为定义域上的单调递增函数 ∴当x=0时，f(x)取最小值，f(0)=-1/4