[理学]导数的概念与运算.ppt

* 导数的概念与运算 知识提要： 1．导数的概念： （1）已知函数y=f(x)，如果自变量x在x0处有增量⊿x，那么函数y相应地有增量 ⊿y=f(x0+⊿x)-f(x0),比值 就叫做函数y=f(x)在x0到x0+⊿x之间的平均变化率； （2）当⊿x→0时， 有极限，就说函数y=f(x)在x0处可导，并把这个极限叫做f(x)在x0处的导数（或变化率），记作 ； 1．导数的概念： （3）如果函数y=f(x)在开区间（a,b）内每一点都可导，就说y=f(x)在开区间(a,b)内可导，由这些导数值构成的函数叫做y=f(x)在区间(a,b)内的导函数， 记作 ＝ ＝ 。 2．求导数的方法： （1）求函数的增量⊿y； （2）求平均变化率 ； （3）求极限 。 3．导数的几何意义：函数y=f(x)在x0处的导数的几何意义，就是曲线y=f(x)在点（x0，y0）处 的切线的斜率，即斜率为 。过点P的切 线方程为：y- y0= (x- x0). 导数的物理意义：如果物体的运动规律是s=s(t)，那么物体在时刻t0的瞬时速度v就是位移s的导数在t0的值， v= 4．几种常见函数的导数： (C为常数)； ； ； ； ； ； 。 5．导数的四则运算法则： 6．复合函数的导数：设函数u= (x)在点x处有导数u′x= ′(x)，函数y=f(u)在点x的对应点u处有导数y′u=f′(u)，则复合函数y=f( (x))在点x处也有导数，且 或f′x( (x))=f′(u) ′(x). 用定义法求下列函数的导数. (1)y＝x2；　(2)y＝ 【解】 (1)因为 题型一、利用导数的定义求函数的导数 1.用导数的定义求函数y＝ 在x＝1处的导数. 解： 求下列函数的导数： (1)y＝x2sinx； (2)y＝3xex－2x＋e； (3)y＝ (4)[理]y＝sin32x. 题型二、导数的运算 【解】　(1)y′＝(x2)′sinx＋x2(sinx)′＝2xsinx＋x2cosx. (2)y′＝(3xex)′－(2x)′＋(e)′ ＝(3x)′ex＋3x(ex)′－(2x)′ ＝3xln3·ex＋3xex－2xln2 ＝(ln3＋1)·(3e)x－2xln2. (4)[理]y′＝3(sin2x)2·(sin2x)′＝6sin22xcos2x. 2.求下列函数的导数： (1)y＝(1－ )(1＋ )；　(2)y＝ (3)y＝xex；　(4)y＝tanx. 解： (3)y′＝x′ex＋x(ex)′＝ex＋xex＝ex(x＋1). (4)y′＝ 求下列函数的导数 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ 已知曲线y＝ (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程. 题型三、导数的几何意义 ?【解】　(1)∵y′＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)， 即4x－y－4＝0. (2)设曲线y＝ 与过点P(2,4)的切线相切于点 A(x0， )， 则切线的斜率k＝y′| ∴切线方程为y－ (x－x0)， 即y＝ ∵点P(2,4)在切线上，∴4＝ 即 ＋4＝0，∴ ＋4＝0， ∴ (x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0. ∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2. 故所求的切线方程为4x－y－4＝0或x－y＋2＝0. 3.已知函数f(x)＝x3＋x－16. (1)求曲