[理学]山东大学数学学院数学实验作业题.doc

数学实验 成员签名: 曹云 20070901005 李宪锋 20070901061 李晓翾 20070901062 施尚 20070901110 实验二 教堂顶部曲面面积的计算方法 实验题目： 教堂顶部曲面面积的计算方法 实验目的： 本试验主要涉及微积分， 通过试验将复习曲面面积的计算、 重积分和Taylor 展开等知识；另外将介绍重积分的数值计算法和取得函数近似解析表达式的摄动方法。 实验内容： 思考下面这个实际问题并借助数学软件完成后面4个题的解答： 某个阿拉伯国家有一座著名的伊斯兰教堂，它以中央大厅的金色巨大拱形圆顶名震遐迩。因年久失修，国王下令将教堂顶部重新贴金箔装饰。据档案记载，大厅的顶部形状为球面，其半径为30m。考虑到可能的损耗和其他技术因素，实际用量将会比教堂顶部面积多1.5％.据此， 国王的财政大臣拨出了可制造 5750m 有规定厚度金箔的黄金。 建筑商人哈桑略通数学，他计算了一下，觉得黄金会有盈余。于是，他以较低的承包价得到了这项装饰 工程，但在施工前的测量中，工程师发现教堂顶部实际上并非是一个精确的半球面而是半椭圆球面， 其半立轴恰是 30 m ， 而半长轴和半短轴分别是30.6m和29.6m。这一来哈桑犯了愁，他担心黄金是否还有盈余？甚至可能短缺。最后的结果究竟如何呢？ 1. 用近似格式（2.10）计算教堂顶部面积，与用格式（2.8）计算的结果 相比较； 2. 试用数学软件直接计算面积 (2.3)； 3. 在俄国沙皇的宫廷宝藏中，有许多复活节蛋，它们大都以金银制作，装 饰着或者内藏着各种钻石。其中有一中较大的金“蛋”，“蛋”壳的外层表面是一 个椭球面，其半长轴、半短轴和半立轴分别为 8cm、5.2m 和 5cm。“蛋”壳的 厚度为 0.24cm，重量是 1680g。 用所学的知识解决这只复活节蛋的壳是否用纯金制作的。（金的密度是19.2g/cm） 4. 建筑商人哈桑在对另一座伊斯兰建筑物顶部表面进行装饰时，他碰到的 是一个类似半球面、然而又具有一些其他变化规律的曲面，哈桑这次仍要对 该建筑物的顶部贴以金箔，我们可以确切地用球坐标表示该曲面方程，为 其中 R＝30（m），(请考虑一下，这是怎样地一个曲面？)如果由技术和损耗的因素将使用料比实际面积多1.6%，那么装饰这个顶部至少需要多少金箔? 试用数值方法和摄动方法分别求解这个问题，并将两种方法的结果比较。 （注意：这里给出的曲面方程是参数形式的，因此首先需要弄清这种情况下曲面的计算式有什么变化。） 采用方法： 1. 取椭圆中心为坐标原点建立直角坐标系，则教堂顶部半椭圆球面的方程可写为： 其中R=30，a=30.6 ，b=29.6，而其表面积为 这里积分区域D为 通过简单的计算容易得到 引进变量代换 则有 这个积分相当复杂，不过关于变量r还是可以积出初等函数的表达式，有兴趣的读者可以试一试，若记 那么 (2.3) 中关于 r 的积分 这里 μ＝1 的情况要对表达式求极限。 注意到 μ 的表达式（2.4），若将式（2.5）带入式（2.3）得到的是一个极为复杂的积分式。 事实上，这是一个无法以初等函数形式来表达的积分， 因此我们必须使用近似方法来处理它。考虑到这一积分形式相当复杂，我们宁可直接对式（2.3）来进行处理。 数值积分方法： 对于二重积分，可以如同一元函数定积分那样，将区域划分为小块，然后在每个小区域上对被积函数作近似简化求积 ，再把所得的值求和即可。 3．摄动方法： 简单地说，摄动方法就是对解析式中的小参数进行展开，从而求得近似解析解的方法，应用于积分计算，常常是采取将被积函数（或其部分）展开的方法。 使用的主要程序： 程序1： m= 18; a= 8.0-0.14; b= 5.2-0.14; R= 5.0-0.14; h= 1/(2*m); k= 2*pi/(2*m); e= 0 : k : 2*pi; t= (0 : h : 1); % 算式(2.13) f= sqrt(t.^2*ones(size(t)) + R^2*(1-t.^2)*((cos(e)/a).^2+(sin(e)/b).^2)); clear Iij; for j= 2:2:2*m for i= 2:2:2*m % 算式(2.10) Iij(i,j)= k*h/9*( f(i-1,j-1)+f(i+1,j-1)+f(i-1,j+1)+f(i+1,j+1)... + 4*(f(i,j-1)+f(i-1,j)+f(i+1,j)+f(i,j+1))... + 16*f(i,j) ); end end I= sum(sum(Iij));