[理学]导数.ppt

注:证明函数在某个点是否可导的问题, 归结判断增量比(即函数增量比上自变量增量)的极限是否存在的问题. 注意: 该定理的逆定理不成立 .即连续不一 定可导。 但是逆否命题成立，不连续则一定不 可导 * * 第二章　导数和微分 在许多实际问题中，需要从数量上研究变量的 变化速度。如物体的运动速度，在某一点的切线斜率，产品的成本变化率等，所有这些在数学上都可归结为函数的变化率问题，即导数。 本章将通过对实际问题的分析，引出微分学中 两个最重要的基本概念——导数与微分，然后再建立求导数与微分的运算公式和法则，从而解决有关变化率的计算问题。 一、问题的提出 1.自由落体运动的瞬时速度问题 如图, 取极限得 3.1 导数的概念 上述求瞬时速度的方法对一般变速直线运动也同样适用。设物体作变速直线运动，其运动路程为s = s(t)，则物体在时刻 t 0 的瞬时速度定义为 速度反映了路程对时间变化的快慢程度 割线的极限位置——切线位置 播放 如果割线MN绕点M旋转而趋向极限位置MT,直线MT就称为曲线C在点M处的切线. 极限位置即 如图, 2.切线问题 关于引例的说明： ★ 　撇开变量所代表的特殊意义，这些极限从数量方面刻画了变化率的本质 ★ ★ . , 0 慢程度 而变化的快 因变量随自变量的变化 反映了 它 处的变化率 这些极限是因变量在点 x 二、导数的定义 定义 即 其它形式 . ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 h x f h x f x f h - + = ￠ ? . ) ( ) ( lim ) ( 0 0 0 0 x x x f x f x f x x - - = ￠ ? ★ ★ 注意: 三、由定义求导数（三步法） 步骤: 例1 解 ); ( ) ( ) 1 ( x f x x f y - D + = D 求增量 ; ) ( ) ( ) 2 ( x x f x x f x y D - D + = D D 算比值 . lim ) 3 ( 0 x y y x D D = ￠ ? D 求极限 例2 解 . cos ) (sin x x = ￠ 即 例3 解 例如, 更一般地 ) ( . ) ( 1 R x x ? m m = ￠ - m m 例4 解 . ln ) ( a a a x x = ￠ 即 特别地 . ) ( x x e e = ￠ 例5 解 特别地 . 1 ) (ln x x = ￠ ★ 四、单侧导数 1.左导数: 2.右导数: 例6 解 五、导数的几何意义和物理意义 切线方程为 ). )( ( 0 0 0 x x x f y y - ￠ = - １．几何意义 切线方程为 法线方程为 切线方程为 法线方程为 法线方程为 ). ( ) ( 1 0 0 0 x x x f y y - ￠ - = - 倾斜角为0度,切线是与X轴平行的直线 倾斜角为90度,切线是与Y轴平行的直线 注：在某一点的导数不存在，并不说明此点不存在切线 例7 解 由导数的几何意义, 得切线斜率为 所求切线方程为 法线方程为 2.物理意义 非均匀变化量的瞬时变化率. 变速直线运动:路程对时间的导数为物体的瞬时速度. 交流电路:电量对时间的导数为电流强度. 非均匀的物体:质量对长度(面积,体积)的导数为物体的线(面,体)密度. 五、可导与连续的关系 定理 凡可导函数都是连续函数. 证 例8 解 六、小结 1. 导数的实质: 增量比的极限; 3. 导数的几何意义: 切线的斜率; 4. 函数可导一定连续，但连续不一定可导; 5. 求导数最基本的方法: 由定义求导数. 6. 判断可导性 不连续,一定不可导. 连续 直接用定义; 看左右导数是否存在且相等. 思考题 思考题解答