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工程优化硕士研究生课程 第一章 基础知识 背景知识 最优化问题举例 优化问题的数学模型及其分类 最优解与极值点 因此，我们在学习本科程时要尽可能了解如何由实际问题形成最优化的数学模型。 为了便于大家今后在处理实际问题时建立最优化数学模型，下面我们先把有关数学模型的一些事项作一些说明。 例5.（运输问题）已知有m个生产地点Ai,i=1,2,…，m。可供应某种物资，其供应量(产量)分别为ai，i=1，2，…，m，有n个销地Bj，j=1,2,…,n，其需要量分别为bj，j=1,2,…,n，从Ai到Bj运输单位物资的运价(单价)为cij，这些数据可汇总于产销平衡表和单位运价表中，见表1-1，表1-2。有时可把这两表合二为一。 表1-2 若用xij表示从Ai到Bj的运量，那么在产销平衡的条件下，要求得总运费最小的调运方案，数学模型: 例6.（多波信号发生仪中正弦波形逼近的优化设计）要在  上找出n个分点 （n固定），使这 些分点对应的正弦曲线的折线，逼近正弦曲线的误差达到最小。 容易计算出正弦曲线与折线间的面积（以此作为衡量误差的大小）为 由定义可知有如下两个定理（练习自证） 定理1：最优化问题的任意全局极小点必为局部极小值点. 定理2：若 为定义在 上的连 续函数,则 （1）以上问题的可行解的集合D为闭集 （2）以上问题的最优解的集合为闭集. 作业：P8, 1.1 * * 理学院数学系：叶峰 E-mail:yefeng2323@126.com §1 背景知识 最优化技术是一门较新的学科分支。它是在本世纪五十年代初在电子计算机广泛应用的推动下才得到迅速发展，并成为一门直到目前仍然十分活跃的新兴学科。最优化所研究的问题是在一定的限制条件下，在众多的可行方案中怎样选择最合理的一种方案以达到最优目标。 将达到最优目标的方案称为最优方案或最优决策，搜寻最优方案的方法称为最优化方法，关于最优化方法的数学理论称为最优化理论。 最优化问题至少有两要素：一是可能的方案；二是要追求的目标。后者是前者的函数。如果第一要素与时间无关就称为静态最优化问题，否则称为动态最优化问题。 本科程专门讲授静态最优化问题。 最优化技术应用范围十分广泛，在我们日常生活中，在工农业生产、社会经济、国防、航空航天工业中处处可见其用途。 比如我们自己所接触过的课题有：结构最优设计、电子器件最优设计、光学仪器最优设计、化工工程最优设计、运输方案、机器最优配备、油田开发、水库调度、饲料最优配方、食品结构优化等等。 最优化技术工作被分成两个方面，一是由实际产生或科技问题形成最优化的数学模型，二是对所形成的数学问题进行数学加工和求解。对于第二方面的工作，目前已有一些较系统成熟的资料，但对于第一方面工作即如何由实际问题抽象出数学模型，目前很少有系统的资料，而这一工作在应用最优化技术解决实际问题时是十分关键的基础，没有这一工作，最优化技术将成为无水之源，难以健康发展。 数学模型: 对现实事物或问题的数学抽象或描述。 建立数学模型时要尽可能简单，而且要能完整地描述所研究的系统，但要注意到过于简单的数学模型所得到的结果可能不符合实际情况，而过于详细复杂的模型又给分析计算带来困难。因此，具体建立怎样的数学模型需要丰富的经验和熟练的技巧。即使在建立了问题的数学模型之后，通常也必须对模型进行必要的数学简化以便于分析、计算。 一般的模型简化工作包括以下几类： （1）将离散变量转化为连续变量。 （2）将非线性函数线性化。 （3）删除一些非主要约束条件。 建立最优化问题数学模型的三要素： （1）决策变量和参数。 决策变量是由数学模型的解确定的未知数。参数表示系统的控制变量，有确定性的也有随机性的。 （2）约束或限制条件。 由于现实系统的客观物质条件限制，模型必须包括把决策变量限制在它们可行值之内，即约束条件，而这通常是用约束的数学函数形式来表示的。 （3）目标函数。 这是作为系统决策变量的一个数学函数来衡量系统的效率，即系统追求的目标。 §2 最优化问题举例 最优化在物质运输、自动控制、机械设计、采矿冶金、经济管理等科学技术各领域中有广泛应用。下