[理学]工程数学线性代数第一章.ppt

线性代数　　　(第五版) 第一章 行列式 §1 二阶与三阶行列式 §2 全排列及其逆序数 §3 n 阶行列式的定义 §4 对换 §5 行列式的性质 §6 行列式按行（列）展开 §7 克拉默法则 一、二阶行列式的引入 以上利用行列式求解二元线性方程组的过程，即利用克莱姆法则求解的过程 一、概念的引入 二、n 阶行列式的定义 练习 题板计算，思考计算过程对错. n 个不同的自然数，规定从小到大为标准次序. 定义 当某两个元素的先后次序与标准次序不同时， 就称这两个元素组成一个逆序. 例如 在排列32514中， 3 2 5 1 4 逆序 逆序 逆序 定义 排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数. 　　分别计算出排列中每个元素前面比它大的数 个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，每个 元素的逆序数之和即为所求排列的逆序数. 计算逆序数的方法 例1 求排列32514的逆序数. 解 在排列32514中, 3排在首位,逆序数为0; 2的前面比2大的数只有一个3,故逆序数为1; 3 2 5 1 4 于是排列32514的逆序数为 5的前面没有比5大的数,其逆序数为0; 1的前面比1大的数有3个,故逆序数为3; 4的前面比4大的数有1个,故逆序数为1; 例2 计算下列排列的逆序数，并讨论它们的奇偶性. 解 所以，t=0+1+0+0+1+3+4+4+5=18 奇排列：逆序数为奇数的排列. 偶排列：逆序数为偶数的排列. 故，以上是偶排列。 思考：符合标准次序的排列是奇排列还是偶排列？ 答：符合标准次序的排列（例如：123）的逆序数等于零，因而是偶排列. §3 n阶行列式的定义 规律： 三阶行列式共有6项，即3!项． 每一项都是位于不同行不同列的三个元素的乘积． 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1、2、3的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 所以，三阶行列式可以写成 其中 表示对1、2、3的所有排列求和. 二阶行列式有类似规律.下面将行列式推广到一般的情形. n 阶行列式共有 n! 项． 每一项都是位于不同行不同列的 n 个元素的乘积． 每一项可以写成 （正负号除外），其中 是1, 2, …, n 的某个排列. 当 是偶排列时，对应的项取正号； 当 是奇排列时，对应的项取负号. 简记作 ， 其中 为行列式D的(i, j)元 * * * * 《计算机数学基础》－线性代数初步　 行列式、向量、矩阵、线性代数方程组、矩阵的特征值和实二次型 请求出以下行列式的值： 　　　　　6－4＝2　 　　　　　　　3＋4＋4－4－12－1＝－6 　 行列式的概念.（由简到杂） 及基本的计算方式 通过研究行列式的性质 简化行列式的计算方式. —— 线性方程组的求解. 行列式是线性代数的一种工具！ 学习行列式主要就是要能计算行列式的值. 从最简单的二元线性方程组出发，探 求其求解公式，并设法化简此公式. §1 二阶与三阶行列式 用消元法解二元线性方程组 方程组的解为 分母由方程组的四个系数确定. 由四个数排成二行二列（横排称行、竖排 称列）的数表 定义 即 主对角线 副对角线 对角线法则 二阶行列式的计算 记 故，对于二元线性方程组 系数行列式 则二元线性方程组的解为 注意 分母都为原方程组的系数行列式. 例1 求解二元线性方程组 解 因为 所以 练习 求解二元线性方程组 解 因为 所以 定义 设有9个数排成3行3列的数表 原则：横行竖列 引进记号 称为三阶行列式. 主对角线 副对角线 二阶行列式的对角线法则并不适用！ 二、三阶行列式 三阶行列式的计算 ——对角线法则 注意：对角线法则只适用于二阶与三阶行列式. 实线上的三个元素的乘积冠正号， 虚线上的三个元素的乘积冠负号. 例2 计算行列式 解 按对角线法则，有 方程左端 解 由 得 例3 求解方程 例4 请用克莱姆法则求解以下线性方程组 解： 由于方程组的系数行列式 同理可得 故方程组的解为: 二阶和三阶行列式是由解二元和三元线性方程组引入的. 对角 线法则 二阶与三阶行列式的计算 小结 利用行列式可以简易求解线性方程组，尤其是高阶线性方程组，但高阶行列式的运算不能直接使用对角线法则 那么如何计算高阶行列式，需引入“逆序数”的概念 §2 全排列及其逆序数 引例 用1、2、3三个数字