[理学]席第06讲 多维随机变量及其分布.ppt

函数与极限 * 第三章 多维随机变量及其分布 3.1 二维随机变量 在很多实际问题中，需要考虑两个或两个以上的随机变量。 先看两个随机变量： 二维随机变量（X,Y)的性质不仅与X及Y 有关，而且还依赖于这两个随机变量的相互关系。 联合分布函数与边缘分布函数 1．定义 设（X,Y)是二维随机变量，对任意的实数 x, y, 令 F(x, y)=P{X?x, Y?y} . 则称 F(x, y)为（X,Y）的联合分布函数。 分布函数的几何意义 如果用平面上的点(x, y)表示二维随机变量 (X ,Y )的一组可能的取值，则F (x, y)表示(X ,Y ) 的取值落入下图所示的角形区域的概率 x y (x, y) 2．F(x, y)的性质 性质1 对于x 和y, F(x, y)都是单调不减函数，即若x1 x2,对任意的实数y，则有 F(x1,y)? F(x2, y)； 若y1y2,对任意的实数x，则有 F(x,y1)? F(x,y2) 性质2 对于任意的实数x, y , 均有 0 ? F(x, y ) ? 1, 性质3 对于x 和y，F(x, y)都是右连续的，即对任意的实数x0和y0，均有 F(x, y)=F(x0 , y), F( x, y )=F(x, y0 ) 性质4 若x1 x2, y1y2, 则 P{x1X? x2, y1Y? y2 }= F(x2,, y2)?F(x2 ,y1)?F(x1,y2)+F(x1, y1) x y (x2,y2) (x1,y1) 几何意义如下: 3．边缘分布函数 记(X,Y )的分量X，Y 的分布函数分别为FX(x)和FY(y)称它们为X，Y 的边缘分布函数 4. 联合分布函数与边缘分布函数的关系 FX(x)=P{X? x}=P{X? x,-? Y+?} =F(x,+ ?)， FY (y)=P{Y? y}=P{-? X+?,Y? y} =F(+?, y) 例1： 设 求 (X, Y )的边缘分布函数。 解: 二维离散型随机变量及其 联合分布律 如果二维随机变量(X, Y)全部可能取到的不同的值是有限对或可列无限多对，则称(X, Y)是离散型的随机变量． 设二维离散型随机变量(X,Y)所有可能的取值为 (xi , yj), i，j=1,2,..., 取这些值的概率为 联合分布律 pij = P{X=xi,Y=yj} i, j=1,2,…… 称 上式为(X,Y)的联合分布律.? 性质 (1) pij ? 0，i, j=1,2,… (2) 问：如何用表格表示(X, Y)分布情况？ 答:见书p76. 并且有一个例子见p77. 二维连续型随机变量及其联合概率分布 定义 设二维随机变量(X , Y )的分布函数为F(x, y)。若存在非负函数f (x , y), 对任意实数x , y 有 则称(X , Y )为连续型二维随机变量，且称函数 f (x , y)为二维随机变量(X , Y )的联合密度函数，简称为联合密度或概率密度。 性质: (1) (2) 若f (x , y)在点(x , y)处连续，则 (3) (4) 设G是xOy平面上的一个区域，则有 在几何上z = f (x , y)表示空间的一张曲面。 由性质(2)知，介于该曲面和xy平面之间的空间区域的体积是1。 由性质(4)知, 的值等于以G为底，以曲面z = f (x , y)为顶的曲顶柱体的体积。 pi. = P{X = x i} , i=1, 2, … p.j = P{Y = y j} , j=1, 2, … 称上面两式分别为(X,Y)关于X 和Y 的边缘分布律， 简称为(X,Y)的边缘分布律。 若(X,Y)为离散型随机变量, 则X,Y均为离散型 随机变量 。记分量X 和Y 的分布律分别为 二维离散型随机变量的边缘分布律 联合分布律与边缘分布律的关系 设二维离散型随机变量(X,Y) 的联合分布律为 pi j = P{X = x i , Y = y i} i , j=1,2,… 则 二维连续型随机变量的边缘密度函数 2. 若(X, Y)是二维连续型随机变量，其联合密度函数是