[理学]应用多元统计分析课后习题答案详解北大高惠璇第三章部分习题解答.ppt

应用多元统计分析 第三章习题解答 第三章 多元正态总体参数的检验 因为 似然比统计量 第三章 多元正态总体参数的检验 所以 * 第三章 多元正态总体参数的假设检验 3-1 设X～Nn(μ,σ2In), A为对称幂等阵,且rk(A)=r(r≤n),证明 证明 因A为对称幂等阵，而对称幂等阵的特征值非0即1,且只有r个非0特征值，即存在正交阵Γ(其列向量ri为相应特征向量)，使 第三章 多元正态总体参数的检验  其中非中心参数为 第三章 多元正态总体参数的检验 3-2 设X～Nn(μ,σ2In), A，B为n阶对称阵.若AB ＝0 ,证明X′AX与X′BX相互独立.  证明的思路：记rk(A)=r.  因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得 Γ ′AΓ=diag(λ1,…,λr 0,..,0) 令Y＝Γ′X，则Y～Nn(Γ′μ,σ2In), 第三章 多元正态总体参数的检验 且 又因为 X′BX=Y′Γ′BΓ Y= Y′HY 其中H=Γ′BΓ 。如果能够证明X′BX 可表示为Yr+1，…,Yn的函数，即H只是右下子块为非0的矩阵。 则X′AX 与X′BX相互独立。 第三章 多元正态总体参数的检验 证明 记rk(A)=r. 若r=n,由AB＝O,知B＝ On×n,于是X′AX与X′BX独立； 若r=0时,则A＝0,则两个二次型也是独立的. 以下设0＜r＜n.因A为n阶对称阵,存在正交阵Γ,使得 第三章 多元正态总体参数的检验 其中λi≠0为A的特征值(i=1,…,r).于是 令 r 第三章 多元正态总体参数的检验 由AB＝O可得DrH11＝O ， DrH12＝O . 因Dr为满秩阵,故有H11＝Or×r，H12＝Or×(n-r) . 由于H为对称阵，所以H21＝O(n-r)×r .于是 由于Y1，…,Yr ,Yr+1 ,…,Yn相互独立，故X′AX与X′BX相互独立. 第三章 多元正态总体参数的检验 令Y＝Γ′X，则Y～ Nn(Γ′μ,σ2In), 且 设X～Np(μ,Σ),Σ＞0,A和B为p阶对称阵,试证明 (X-μ)′A(X-μ)与(X-μ)′B(X-μ)相互独立  ? ΣAΣBΣ＝0p×p. 第三章 多元正态总体参数的检验 3-3 由“1.结论6”知ξ与η相互独立?  第三章 多元正态总体参数的检验 性质4 分块Wishart矩阵的分布:设X(α) ～ Np(0,Σ) (α＝1,…,n)相互独立，其中 又已知随机矩阵 则 第三章 多元正态总体参数的检验 试证明Wishart分布的性质(4)和T2分布的性质(5). 3-4 第三章 多元正态总体参数的检验 证明: 设 记 , 则 即 第三章 多元正态总体参数的检验 当Σ12 =O 时,对α＝1,2,…,n, 相互 独立.故有W11与W22相互独立. 由定义3.1.4可知 性质5 在非退化的线性变换下,T2统计量保持不变. 证明:设X(α) (α＝1,…,n) 是来自p元总体Np(μ,Σ)的随机样本, X和Ax分别表示正态总体X的样本均值向量和离差阵,则由性质1有 第三章 多元正态总体参数的检验 令 其中C是p?p非退化常数矩阵，d是p?1常向量。则 第三章 多元正态总体参数的检验 所以 第三章 多元正态总体参数的检验 3-5 对单个p维正态总体Np(μ,Σ)均值向量的检验问题，试用似然比原理导出检验H0:μ=μ0(Σ=Σ0已知)的似然比统计量及分布. 解:总体X～Np(μ,Σ0)(Σ0＞0),设X(α)(α=1,…,n) (n＞p)为来自p维正态总体X的样本.似然比统计量为 P66当Σ=Σ0已知μ的检验 第三章 多元正态总体参数的检验 第三章 多元正态总体参数的检验 第三章 多元正态总体参数的检验 因 所以由§3“一﹑2.的结论1”可知 第三章 多元正态总体参数的检验 3-6 (均值向量各分量间结构关系的检验) 设总体X～Np(μ,Σ)(Σ＞0),X(α)(α＝1,…,n)(n＞p)为来自p维正态总体X的样本，记μ＝(μ1,…,μp)′.C为k×p常数(kp),rank(C)=k,r为已知k维向量.试给出检验H0:Cμ＝r的检验统计量及分布. 解：令 则Y(α)(α＝1,…,n) 为来自k维正态总体Y的样本，且 第三章 多元正态总体参数的检验 检验 这是单个k维正态总体均值向量的检验问题.利用§3.2当Σy = CΣC′未知时均值向量的检验给出的结论,取检验统计量: 第三章 多元正态总体参数的检验 3-7