[理学]微分差分建模.ppt

微分方程模型 主讲: 侯志敏 E-mail: houzhimin@ 电话:QQ: 一、微分方程模型建模方法 涉及“改变”、“变化”、“增加”、“减少”、“衰变”、“边际”、“速度”、 “运动”、“追赶”、“逃跑”等等词语的确定性连续问题。 1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式 变化率（微商）=单位增加量--单位减少量 等式通常是利用已有的原则或定律。 3、确定微分方程的定解条件（初边值条件）； 4、求解或讨论方程（数值解或定性理论）； 5、模型和结果的讨论与分析。 三、 微分方程的几个简单实例 例1 一个较热的物体置于室温为18℃的房间内，该物体最初的温度是60℃，3分钟以后降到50℃ .想知道它的温度降到30℃需要多少时间？10分钟以后它的温度是多少？ 三、Malthus模型与Logistic模型(复习) 例 新产品的推广 金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额T=5400万的基金,分开放置在位于A城和B城的两家公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍然为5400万。经过相当长的一段时期的现金流动,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还留在自己的公司内,而A城公司有10%支付基金流动到B城公司,B城公司则有12%支付基金流动到A城公司。其初A城公司基金额为2600万,B城公司基金为2800万。 假设在一个自然生态地区生长着一群鹿,在一段时间 内，鹿群的增长受资源制约的因素较小。 模型4 SIR模型 被传染人数的估计 记被传染人数比例 xs0 i 0 P1 ? i0 ?0, s0 ?1 ? 小, s0 ? ?1 提高阈值 1/? ?降低被传染人数比例 x s0 - 1/? = ? 稳定性模型 对象仍是动态过程，而建模目的是研究时间充分长以后过程的变化趋势 ——平衡状态是否稳定。 不求解微分方程，而是用微分方程稳定性理论研究平衡状态的稳定性。 1.捕鱼业的持续收获 再生资源（渔业、林业等）与非再生资源（矿业等） 再生资源应适度开发——在持续稳产前提下实现最大产量或最佳效益。 【问题及分析】 在捕捞量稳定的条件下，如何控制捕捞使产量最大或效益最佳。 如果使捕捞量等于自然增长量，渔场鱼量将保持不变，则捕捞量稳定。 背景 产量模型 【模型假设】 无捕捞时鱼的自然增长服从 Logistic规律 单位时间捕捞量与渔场鱼量成正比 【模型构成】 捕捞情况下渔场鱼量满足 不需要求解x(t), 只需知道x(t)稳定的条件 r~固有增长率, N~最大鱼量 h(x)=Ex, E~捕捞强度 x(t) ~ 渔场鱼量 一阶微分方程的平衡点及其稳定性 一阶非线性（自治）方程 F(x)=0的根x0 ~微分方程的平衡点 设x(t)是方程的解，若从x0 某邻域的任一初值出发，都有 称x0是方程(1)的稳定平衡点 不求x(t), 判断x0稳定性的方法——直接法 (1)的近似线性方程 产量模型 平衡点 稳定性判断 x0 稳定, 可得到稳定产量 x1 稳定, 渔场干枯 E~捕捞强度 r~固有增长率 产量模型 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使产量最大 图解法 P的横坐标 x0~平衡点 y=rx h P x0 y 0 y=h(x)=Ex x N y=f(x) P的纵坐标 h~产量 产量最大 f 与h交点P hm x0*=N/2 P* y=E*x 控制渔场鱼量为最大鱼量的一半 效益模型 鱼销售价格p 单位捕捞强度费用c 单位时间利润 在捕捞量稳定的条件下，控制捕捞强度使效益最大. 稳定平衡点 求E使R(E)最大 渔场鱼量 收入 T = ph(x) = pEx 支出 S = cE 【模型假设】 Es S(E) T(E) 0 r E 捕捞过度 封闭式捕捞追求利润R(E)最大 开放式捕捞只求利润R(E) 0 R(E)=0时的捕捞强度(临界强度) Es=2ER 临界强度下的渔场鱼量 捕捞过度 ER E* 令=0 2、多种群生态数学模型 意大利生物学家D’Ancona曾致力于鱼类种群相互制约关系的研究，他从第一次世界大战期间,地中海各港口捕获的几种鱼类捕获量百分比的资料中，发现鲨鱼等的比例有明显增加（见下表），而供其捕食的食用鱼的百分比却明显下降.显然战争使捕鱼量下降，食用鱼增加，鲨鱼等也随之增加，但为何鲨鱼的比例大幅增加呢？ 他无法解释这个现象，于是求助于其岳父，著名的意大利数学家V.Volterra，希望建立一个食饵—捕食系统的数学模型，定性或定量地回答这个问题. 该模型反映了在没有人工捕获的自然环境中食饵与捕食者之间的制约关系，没有考虑