[理学]微分方程作业解答.ppt

1.指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解: 所以 不是所给微分方程的解? 第七章 微分方程 作业题 解 (1) 因为 ⑵ 所以 是所给微分方程的解? 因为 解 (1)曲线在 的切线斜率等于该点横坐标的平方? ⑵ 曲线上点 处的法线与 轴的交点为 ,且线段 被 轴平分. 由已知所求微分方程是 则 处的法线斜率为 由条件， 点的坐标为 从而有 即 解 设曲线为 解 设曲线为 2. 写出由下列条件确定的曲线所满足的微分方程? 3．求下列微分方程的解: 解 分离变量 两边积分 即 通解为 ⑴ ⑵ 解 分离变量得 两边积分得 即 ⑶ 解 分离变量得 即 两边积分 故通解为 ⑷ 解 分离变量得 两边积分 故通解为 ⑸ 解 分离变量得 两边积分 即 或 由 得 故方程的特解为: (6) 解 分离变量得 两边积分得 即 或 由 得 所以特解为 4. 镭的衰变有如下的规律：镭的衰变速度与它的现存 量R 正比。 由经验材料得知，镭经过1600年后，只余 原始量R0的一半。试求镭的量R与时间t的函数关系? 即 由题设知 解 两边积分得 故 因为当 时? 故 即 又当 时? 故 从而 因此 5．求下列齐次微分方程的解: 解 此题是齐次方程,令 则原方程化为 即 两边积分得 即 将 代入上式得原方程的通解为 ⑴ ⑵ 解 原方程变形为 令 则上式化为 即 分离变量 两边积分得 即 将 代入上式得原方程的通解 即 ⑶ 解 这是齐次方程? 即 则方程化为 或 两边积分得 即 将 代入上式得原方程的通解为 由 得 故所求特解为 即 令 ⑷ 解 即 两边积分得 将 代入上式得原方程的通解为 由 得 故所求特解为 则原方程化为 令 6? 设有联接点 和 的一段向上凸的曲线弧 对于 曲线弧上任一点 与直线段 所围图形的面积为 求曲线弧 的方程? 曲线弧 解 设所求曲线弧 的方程为 由题意得 两边求导得 即 令 则有 ,即 因而 从而所求方程为 在曲线上， 由于 将 代入上式得方程的通解为 两边积分得 解 原方程变为 由通解公式,得 7．求下列微分方程的解: ⑴ ⑵ 解 原方程变形为 所以 ⑶ 解 原方程变形为 由一阶线性微分方程的通解公式,得 ⑷ 解 由一阶线性微分方程的通解公式,得 由 ? 得 故所求特解为 ⑸ 解 由一阶线性微分方程的通解公式,得 故所求特解为 ? 得 由 ⑹ 解 这是一个伯努利方程. ,则 原方程可化为 由一阶线性微分方程的通解公式,得 通解为 （另有一特解 ） 令 ⑺ 解 即 两边积分得 将 代入上式,得原方程的通解为 即 ? 则原方程化为 令 ⑻ 解 ? 则原方程化为 即 将 代入上式得原方程的通解 即 令 两边积分 即 解 由题意知 并且 根据一阶线性微分方程的通解公式得 由 ? 得 故所求曲线的方程为 8. 求一曲线的方程,这曲线通过原点,,并且它在 点 处的切线斜率等于 . 解 ⑵ 解 方程不显含 ,令 ,即 两边积分得 原方程的通解为 9.求下列微分方程的解: 则原方程化为 , 即 ⑴ ⑶ 则原方程化为 即 由一阶线性齐次方程的通解公式得 即 于是 原方程的通解为 解 方程不显含 ,令 ⑷ 解 ?则 原方程化为 两边积分得 即 原方程的通解为 令 (5) 解 由 得 这是原方程的一个解?再由 得 即 从而 故原方程的通解为 令 ? 则 原方程化为 ? 即 (6) 解 原方程化为 ? 或 两边积分得 ? ，两边积分得 从而原方程的特解为 ? 则 令 由 ,得 由 得