[理学]微分方程模型1基础知识.ppt

2010年全国大学生数学建模竞赛暑期强化培训 微分方程模型 主讲人：徐世英 当我们描述实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程、分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时。通常要建立对象的动态模型。 在许多实际问题中，当直接导出变量之间的函数关系较为困难，但导出包含未知函数的导数或微分的关系式较为容易时，可用建立微分方程模型的方法来研究该问题。 在研究实际问题时，常常会联系到某些变量的变化率或导数，这样所得到变量之间的关系式就是微分方程模型。 微分方程模型反映的是变量之间的间接关系，因此，要得到直接关系，就得求解微分方程。 微分方程的实质： 实际对象的某些特性随时间（空间）而演变的过程，是一个动态模型。 作用： 1、分析它的变化规律； 2、预测它的未来形态； 3、研究它的控制手段。 与统计方法的区别： 机理；事件发生的数量统计规律 建立微分方程模型的方法 （1）根据规律列方程 利用数学、力学、物理、化学等学科中的定理或经过实验检验的规律等来建立微分方程模型。 （2）微元分析法 利用已知的定理与规律寻找微元之间的关系式，与第一种方法不同的是对微元而不是直接对函数及其导数应用规律。 --中央民族大学理学院-- （3）模拟近似法 在生物、经济等学科的实际问题中，许多现象的规律性不很清楚，即使有所了解也是极其复杂的，建模时在不同的假设下去模拟实际的现象，建立能近似反映问题的微分方程，然后从数学上求解或分析所建方程及其解的性质，再去同实际情况对比，检验此模型能否刻画、模拟某些实际现象。 --中央民族大学理学院-- 根据函数及其变化率之间的关系确定函数 常微分方程建模 根据建模目的和问题分析作出简化假设 按照内在规律或用类比法建立微分方程 求解常微分方程有三种方法： 1）求精确解； 2）求数值解（近似解）； 3）定性理论方法。 --中央民族大学理学院-- 一截面积为常数A，高为H的水池内盛满了水，由池底一横截面积为B的小孔放水。设水从小孔流出的速度为 ，求在任一时刻的水面高度和将水放空所需的时间。 通过解决此问题想到什么？ 例1 流水问题 B A 第一步列方程 等量关系： 水面1 水面2 设时刻 的水面高度为 时的水面高度为 时间由水面1 降到水面2所失去的水量等于从 小孔流出的水量。 是水在 时间内从小孔流出保持水平前进时所经过的距离。 初始条件 可分离变量的方程。 --中央民族大学理学院-- 第二步解方程： 水面高度与时间的函数关系 水流空所需时间为（令 h=0 ） --中央民族大学理学院-- 例2：古尸年代鉴定问题 　　在巴基斯坦一个洞穴里，发现了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科学家把它带到实验室，作碳14年代测定，分析表明，　　与　　的比例仅仅是活组织内的6.24%，能否判断此人生活在多少年前？ 背景 　　　年代测定方法是1949年美国芝加哥大学利比（W.F.Libby）建立的，是考古工作者研究断代的重要手段之一。 --中央民族大学理学院-- 宇宙线中子穿过大气层时撞击空气中的氮核，引起核反应而生成具有放射性的 。从古至今，碳 不断产生，同时其本身又在不断的放出 射线而裂变为氮。 大气中 处于动态平衡状态， 经过一系列交换过程进入活组织内，直到在生物体内达到平衡浓度，即在活体中，　的数量与稳定的　　的数量成定比，生物体死亡后，交换过程停止，放射性碳便按照放射性元素裂变规律衰减。 基本原理 从星际空间射到地球的射线 --中央民族大学理学院-- C14的蜕变规律 C14是一种由宇宙射线不断轰击大气层，使大气层产生中子，中子与氮气作用生成的具有放射性的物质。这种放射性碳可氧化成二氧化碳，二氧化碳被植物所吸收，而植物又作为动物的食物，于是放射性碳被带到各种动植物体内。 C14是放射性的，无论在空气中还是在生物体内他都在不断衰变，这种衰变规律我们可以求出来。通常假定其衰变速度与该时刻的存余量成正比。 --中央民族大学理学院-- 裂变速率与剩余量成正比。 λc14=1/8000 设在时刻t（年），生物体中C14的存量为x(t),生物体的死亡时间记为t0=0,此时C14含量为x0,由假设，初值问题的数学模型为： 已知：λc14=1/8000 --中央民族大学理学院-- 解为 规律： 裂变