[理学]微积分8-2-22003.ppt

４、二重积分的性质 第二节 二重积分的计算 二、二重积分在极坐标系下的计算 * 复习： 二重积分的概念和性质 1、定义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． ３、几何意义 性质１ 当 为常数时， 性质２ （二重积分与定积分有类似的性质） 性质３ 对区域具有可加性 性质４ 若 为D的面积， 性质５ 若在D上 特殊地 则有 性质６ 性质７ （二重积分中值定理） （二重积分估值不等式） 一、二重积分在直角坐标系下的计算 １、若积分区域为 X－型： 即化为先对y、后对x的二次积分。 则 ２、若积分区域为 Y－型： ３、若区域如图， 在分割后的三个区域上分别使用积分公式 则必须分割. ４、如果积分区域D既是X-型的，又是Y-型的， 则 　　　二重积分化为二次积分时，关键是： 　　　确定积分的顺序和积分的上下限。 强调： 计算步骤： 画积分区域的草图； 确定积分次序； 确定积分的上下限； 计算累次积分。 解 积分区域如图 解 原式 解 解 解 解 曲面围成的立体如图. 有些二重积分，积分区域D的边界曲线 用极坐标方程来表示比较方便，且被积 函数用极坐标变量r，θ比较简单。这 时，我们就可以考虑利用极坐标来计算 二重积分。 假定从极点O出发且穿过闭区域D内部的射线与D的边界曲线相交不多于两点。 我们用以极点为中心的一族同心圆：r=常数， 以及从极点出发的一族射线：θ=常数，把D 分成n个小闭区域 公式表明，要把二重积分中的变量从直角 坐标变换为极坐标，只要把被积函数中的 x、y分别换成rcosθ、rsinθ，并把直角 坐标系中的面积元素dxdy换成极坐标系中 的面积元素rdrdθ。 二重积分化为二次积分的公式（1） 若区域特征如图 区域特征如图 二重积分化为二次积分的公式（２） 若区域特征如图 极坐标系下区域的面积 二重积分化为二次积分的公式（３） 若区域特征如图 * * * *