[理学]数值分析07解线性代数方程组的直接解法.ppt

第三章 线性代数方程组的数值解法 第一节 求解线性代数方程组的基本定理 第二节 高斯消元法及其计算机实现 一、三角形方程组的解法 二、高斯消元法 三、选主元高斯消元法 再交换第k,ik两个方程和第k,jk列,使 成为主元. 称这个过程为完全选主元.  不论是哪种方式选出主元,而后再按上面介绍的计 算步 骤进行消元的计算,一般都称为选主元的高斯消元法.在 实际计算中,常用按列选主元的高斯消元法. 例4:讨论下面方程组的解法 0.0001x1+x2=1 x1+x2=2 假设求解是在四位浮点十进制数的计算机上进行 0.1000?10-3 x1 + 0.1000 ?101 x2 = 0.1000 ?101 0.1000 ?101 x1 +0.1000 ?101 x2 = 0.2000 ?101 解:本题用机器数系表示为 a11 =0.0001, m21=a21/a11=1/0.0001= 104, 消元得 回代解得 x2=1 , x1=0 严重失真! (本题的准确解为 x1= 10000/9999, x2=9998/9999 ） a22(2)= 0.1000 ?101 - 104 ? 0.1000 ?101 = 0.00001 ?105 - 0.1000 ?105 (对阶计算) = - 0.1000 ?105 0.1000?10-3 x1 + 0.1000 ?101 x2 = 0.1000 ?101 -0.1000 ?105 x2 = -0.1000 ?105 主元a11过小 选主元基本思想 用高斯消元法求解线性方程组时,为避免小的主元.在进行第k步消元前,应该在第k列元素 (i=k,…,n)中找出第一个出现的绝对值最大者,例如 ， 再把第ik个方程与第k个方程组进行交换,使 成为主元.我们称这个过程为选主元.由于只在第k列元素中选主元,通常也称为按列选主元. 如果在第k步消元前,在第k个方程到第n个方程所有的xk到xn的系数 (i=k,…,n;j=k,…,n)中,找出绝对值最大者,例如 * 数值分析 数值分析 * 第二节 高斯消元法及其计算机实现 第三节 用矩阵分解法求解线性方程组 第四节 误差分析和解的精度改进 第五节 大型稀疏方程组的迭代法 第一节 求解线性代数方程组的基本定理 第六节 极小化方法 线性代数方程组的一般形式 MATLAB实现: x=A\b 数值求解方法有以下三条途径（三种框架） 直接法：利用Gauss消元或矩阵分解，通过有限次运算 可求出精确解。 迭代法：构造迭代格式，产生迭代序列，通过无限 次迭代过程求解。有限次截断得近似解。 极小化方法：构造二次模函数，用迭代过程求二次 模函数的极小化问题，即变分法（经n 次运算，理论上得精确解）要求A 对称正定(S.P.D) A b U g 三角形方程组包括上三角形方程组和下三角形方程组，是最简单的线性方程组之一。上三角方程组的一般形式是： 为求解上三角方程组，从最后一个方程入手，先解出 xn=bn/ann, 然后按方程由后向前的顺序，从方程中依次解出xn-1,xn-2,…,x1。这样就完成了上三角方程组的求解过程。这个过程被称为回代过程其计算步骤如下： function X=backsub(A,b) %Input—A is an n×n upper- triangular nonsingullar matrix % ---b is an n×1 matrix %Output—X is the solution to the system AX=b 函数名 返回变量 参数表 n=length(b); X=zeros(n,1); X(n)=b(n)/A(n,n); for i=n-1:-1:1 X(i)=(b(i)-A(i,i+1:n)* X(i+1:n))/A(i,i); end A的第i行、第i+1到n列元