[理学]数值分析总复习.ppt

数值分析研究的对象 计算方法的内容 课 程 特 点 主要方法简介 有 效 数 字 问题的敏感性 算法的数值稳定性 一、主要内容小结 一、基本知识 离散数据的曲线拟合 Newton-Cotes公式 复化求积公式 Romberg公式计算方法 高斯求积公式 Gauss点与正交多项式的关系 三、连续区间上的正交多项式 定义：给定区间[a , b]和对应的权函数 ， 设有n+1个多项式 k=0 , 1, … , n, 其中 。若它们满足正交性 则 称为在[a , b]上带权 的正交多项式序列. 连续区间上的正交多项式序列也可用正交化方法构造，并由同样的三项递推公式。 此外，对定理2中的性质及唯一性的结论，也同样成立。 定理3 设? n(x)是[a , b]上带权?(x)的首项系数非0的n次正交多项式(n≥1), 则? n(x)的n个根都是单实根，并且分布在开区间(a , b)。 常见的正交多项式 勒让德多项式(Legendre) 切比雪夫多项式(Chebyshev) 拉盖尔多项式(Laguerre) 埃尔米特多项式 (Hermite) 一、线性模型与最小二乘拟合 当由实验提供了大量数据时, 不能要求拟合函数 在数据点 处的偏差, 即 (i=1, 2, …, m) 严格为零, 但为了使近似曲线尽量反映所给数据点的变化趋势 , 需对偏差有所要求。通常要求偏差平方和 最小, 此即称为最小二乘原理。 定义：已知m+1对离散数据{x i , y i}和权数{wi}, 记 拟合模型 是待定参数 的线性函数， 故称之为线性最小二乘问题。注意到函数? (x)在离散点处的值 在连续函数空间C[a , b]中选定 n+1 个线性无关的基函数{? k(x)}，并记它们张成的子空间为 若有 使得 则称? *(x)为{x i , y i}在子空间Φ中带权{wi}的最小二乘拟合。 称之为正规方程(或法方程)。若记其中的系数阵为G , 向量 , 则正规方程可简记为： 。 矩阵G 称为格兰姆(Gram)矩阵，它是对称的。正规方程存在唯一解的必要条件是 | G |≠0。 定理： | G |≠0的充要条件是向量组? 0 , ?1 , … , ?n 是线性无关。 当以{x k}为基的多项式作最小二乘拟合时，格兰姆矩阵G 的条件数很大，从而正规方程是病态的。实际经验表明，这种情况时有发生。 正规方程的病态不是偶然的。事实上，当取权数wi=1时，G ≈ mHn+1(Hilbert阵)。 为了避免多项式拟合时求解病态正规方程，一个可行的办法是在子空间 中寻找另一组基函数{? k(x)}，使得它们关于点列{xi}正交, 即向量组? k=[{? k(x0), ? k(x1), …,? k(xm)] 具有正交性 二、正交多项式拟合 这时，格兰姆矩阵为对角阵 从而正规方程简化为 它的解分量仅用简单的除法即可获得，即 所求的多项式拟合为 且有平方误差公式 函数的最佳平方逼近 有些函数由于表达式较复杂而不易计算和研究，也需要用简单函数去近似，这是函数逼近所研究的问题。仍可采用最小二乘原理去解决。 定义：设f (x) ∈C[a , b]， ? k(x) (k=0 , 1 , … , m)为定义在[a , b]上的一组线性无关的连续函数。H=Span{? 0 , ? 1 , …, ? m} 。如果函数 ? (x)= a0? 0(x) + a1? 1(x) +… + am? m(x) 使得 其中w(x)为权函数, 则称? (x)为函数f (x)在H中关于w(x)的 最佳平方逼近函数。 特别地, 如果? k(x) =x k(k=0 , 1 , … , m), 则? (x)称为f (x)在[a , b]上关于w(x)的m次最佳逼近多项式。 在具体问题中, 权函数w(x) 是给定的 , 若无特别声明，则通常取w(x)≡1。 与离散情形类似，由极值存在的必要条件，可得正规方程组 G a = d ，即 由于? 0 , ?