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[理学]数值分析第7章
1
第7章 非线性方程与方程组的数值解法
7.1 方程求根与二分法
7.2 不动点迭代法及其收敛性
7.3 迭代收敛的加速方法
7.4 牛顿法
7.5 弦截法与抛物线法
7.6 求根问题的敏感性与多项式的零点
7.7 非线性方程组的数值解法
2
7.1 方程求根与二分法
7.1.1 引言
本章主要讨论求解单变量非线性方程
3
如果函数 是多项式函数,即
(1.2)
4
另一类是超越方程,例如
5
非线性问题一般不存在直接的求解公式,故没有直接
方法求解,都要使用迭代法.
6
7
7.1.2 二分法
8
如此反复二分下去,即可得出一系列有根区间
9
作为根的近似,则在二分过程中可以获得一个近似根的序列
10
由于
11
解 这里 ,而
取 的中点 ,将区间二等分,由于 ,
即 与 同号,故所求的根 必在 右侧,这时应令
,而得到新的有根区间
如此反复二分下去, 按误差估计(1.3)式,欲使
12
计算结果如表7-2.
13
二分法是计算机上的一种常用算法,计算步骤为:
14
15
7.2 不动点迭代法及其收敛性
7.2.1 不动点与不动点迭代法
将方程(1.1)改写成等价的形式
16
如此反复迭代计算
17
就是说,迭代过程实质上是一个逐步显示化的过程.
18
19
例3 求方程
解 设将方程(2.3)改写成下列形式
据此建立迭代公式
20
各步迭代的结果见表7-3.
21
但若采用方程(2.3)的另一种等价形式
建立迭代公式
结果会越来越大,不可能趋于某个极限.
这种不收敛的迭代过程称作是发散的.如图7-3.
一个发散的迭代过程,纵使进行了千百次迭代,其结果也是毫无价值的.
22
7.2.2 不动点的存在性与迭代法的收敛性
证明 略
23
在不动点存在唯一的情况下,可以得到迭代法(2.2)
收敛的一个充分条件.
证明 略
24
表明定理1中的条件2可用(2.7)代替.
25
26
7.2.3 局部收敛性与收敛阶
27
证明 略
28
现在讨论迭代序列的收敛速度.
29
30
从计算结果看到迭代法(1)及(2)均不收敛,且它们均不满足定理3中的局部收敛条件.
31
32
证明 略.
33
34
7.3 迭代收敛的加速方法
7.3.1 埃特金加速收敛方法
由微分中值定理,有
(3.1)
则有
35
由此推知
36
可以证明
37
7.3.2 斯蒂芬森迭代法
如果把埃特金加速技巧与不动点迭代结合,则可得到
如下的迭代法:
称为斯蒂芬森(Steffensen)迭代法.
38
的解
39
实际上(3.3)是将不动点迭代法(2.2)计算两步合
并成一步得到的,可将它写成另一种不动点迭代
其中
40
解 例3中已指出, 下列迭代
计算结果如下表.
41
计算表明它是收敛的,这说明即使迭代法(2.2)不收
敛,用斯蒂芬森迭代法(3.3)仍可能收敛.
42
由此构造迭代法
43
若用(3.3)进行加速,计算结果如下 :
44
7.4 牛顿法
7.4.1 牛顿法及其收敛性
45
这就是牛顿法.
46
注意到切线方程为
由于这种几何背景,牛顿法亦称切线法.
47
由定理4得到,对(4.2)的迭代函数为
48
例7 用牛顿法解方程
解 这里牛顿公式为
若用不动点迭代到同一精度要
迭代17次,可见牛顿法的收敛速度
是很快的.
49
牛顿法的计算步骤:
50
51
7.4.2 牛顿法应用举例
52
53
7.4.3 简化牛顿法与牛顿下山法
(1) 简化牛顿法,也称平行弦法.其迭代公式为
54
在(4.7)中取 ,则称为简化牛顿法。
55
(2)牛顿下山法. 牛顿法收敛性依赖初值 的选取.
例如,用牛顿法求方程
计算得
56
为了防止迭代发散,对迭代过程再附加一项要求,即
具有单调性:
满足这项要求的算法称下山法.
57
将牛顿法与下山法结合起来使用,即在下山法保证函
数值稳定下降的前提下,用牛顿法加快收敛速度.
将牛顿法的计算结果
(4.12)称为牛顿下山法.
(4.11)即为
5
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