[理学]数值计算习题.doc

一、插值 （一）拉格朗日插值 已知以下的函数值 1 3 4 5 6 3 2 6 求 拉格朗日的插值公式如下： 计算各项基函数，有 （二）牛顿插值 牛顿插值的相关公式 差商公式 牛顿插值公式 1 3 4 5 6 3 2 6 牛顿插值的关键是利用差商公式，首先我们构造差商，有 计算一阶差商 计算二阶差商 计算三阶差商 由公式 有 当  二、数值积分 （一）龙贝格积分 有如下积分: 利用龙贝格积分求解. 解答 1、分段递推公式如下： 可得 2、利用龙贝格积分，有如下公式： 故有 （二）高斯积分 题目 有如下积分 利用两点高斯积分公式求解. 解答 利用两点高斯积分求解 标准两点高斯求积公式为： 一般区间应用高斯求积公式，可以利用如下转换 故有  三、非线性方程 （一）二分法 利用二分法求解非线性方程 有如下方程， 二分法的求根区间取[7，8]。 取，有 取 有 和同号，则可以知道根在[7,7.5]之间。 取，继续计算 取[7,7.25]区间， …… 结算结束。 对上面结果列表，有 1 7 8 7.5 - + + 2 7 7.5 7.25 - + + 3 7 7.25 7.125 - + + 4 7 7.125 7.0625 - + - 5 7.0625 7.125 7.0938 - + + 6 7.0625 7.0938 7.0781 - + + 7 7.0625 7.0781 7.0703 - + + 8 7.0625 7.0703 7.0664 - + - 9 7.0664 7.0703 7.0684 - + - 10 7.0684 7.0703 7.0693 - + + 11 7.0684 7.0693 7.0688 - + - 12 7.0688 7.0693 7.0691 - + + 13 7.0688 7.0691 7.0690 - + + 14 7.0688 7.0690 7.0689 - + + 15 7.0688 7.0689 7.0689 - + - （二）牛顿迭代法 利用牛顿迭代法求的根,取初始值为. 解答 牛顿迭代法的公式为 令 有 令 故根为0.5110 （三）弦截法 题目 利用弦截法求以下方程的根： ，初值为 要求：绝对误差小于0.001 解答 弦截法的公式为 令 所以方程的根为2.236  四、线性方程组 （一）高斯消元法 有如下方程组,利用高斯消元法求解 ， 利用高斯消元法，首先建立增广矩阵，开始消元 消元完毕，开始回代，可得 ， ， （二）列主元高斯消元法 利用列主元高斯消元法进行方程组求根（小数点后保留两位） 其中，， 利用高斯消元法，首先建立增广矩阵， 选择第一列中的最大值第三行为第一行，可得 选择第二列中的最大值第四行为第二行，可得 选择第三列中的最大值第四行为第三行，可得 消元完毕，开始回代，可得 ， ， （三）三角分解法 有如下方程组,利用三角分解法求解 ， 1）首先，将A进行LU分解。即 （1）先求U矩阵第一行，有 （2）求L矩阵第一列，有 （3）求U矩阵第二行，有 （4）求L矩阵第二列，有 （5）求U矩阵第三行，有 （6）所以有 2）求Ly=b 有 可得 3）求Ux=y，有 ， ， （四）迭代法 初值 首先写成迭代形式： 雅可比迭代法：严格上一次的结果 高斯-赛德尔迭代：最近的计算结果 p277,例12 五、常微分方程 （一）改进欧拉法 题目 利用改进欧拉法求如下常微分方程 求，其中。 解答 改进的欧拉公式为 先求 再求 所以y(1)=7.06 （二）龙格-库塔公式 利用经典四阶龙格-库塔公式求如下常微分方程：（小数点后保留两位） 求，其中。 解答 四阶经典龙格-库塔公式如下： ，， 有 以下计算