[理学]数列极限的存在准则.ppt

函数与极限 Cauchy 收敛准则 的否定形式 Cauchy 收敛准则 的肯定形式 证明 下面我们用Cauchy 收敛准则再来证明一下例2 的结论. 用 Cauchy 收敛准则 的否定形式 定理(单调有界定理)单调有界数列必有极限。 Cauchy收敛准则 定理(确界原理) 非空有 (上、下) 界的数集必有(上、下)确界。 至此，我们已经学习了以下三个数学分析中十分重要的 定理： * 2-03 数列极限的存在准则 数列极限的两大问题 数列极限的存在性； （此问题为最关键的问题） 数列的极限值是什么？ （存在性成立后，才想办法计算极限） 最简单的思想是利用数列本身的特性 证明数列极限的存在性! 按照数列极限的定义证明; 按照奇、偶子列的收敛性证明; 依据任意子列的收敛性证明; 利用夹逼准则证明。 几种证明极限存在的方法： 几何解释: 单调增加 单调减少 单调数列 准则I 单调有界准则 定理1(单调有界定理) 单调有界数列必有极限? 证明 曲边三角形面积A的计算 1 o x y 我们通常的做法是：将区间[0，1 ] n 等份，用小矩形的面积来近似地表示小曲边梯形的面积。 不足近似 过剩近似 可以看到，不足近似数列 单调增加有上 界，过剩近似列 单调减少有下界，随着 n 的不断增大，两者都越来越接近于它们的 确界——所要求的曲边三角形面积 A 的真值。 关于e 极限 证明： 的展开式中共有 项，每一项为正数。 的展开式中共有 项，每一项为正数。 不难发现有： 严格增加 下面证明 有上界： 注意: 第一种证法尽管过程略繁，但易于着手，处理问题平直、朴素,不失为证法之上选. 第二、三种证法都使用了平均不等式，略带技巧，但处理过程仍然简单、清晰。比较起来，教材的做法则显得技巧性过强，如此独特的做法不易发现. 证法一可谓 “以拙胜巧”! 大音希声,大道低回, 大象无形,大巧若拙. —老子 例1 计算下列极限 数列的子 列的极限 例2 证明：数列递增性显然，下面证明有上界： 极限的保序性 例3 例4 证明数列 单调有界, 并求极限. 解 由均值不等式, 有 注意到对 准则II Cauchy收敛准则 定理 2 Cauchy 收敛准则 必要性的证明 Cauchy 收敛准则 表明,收敛数列中项数充分大的任意两项的距离能够任意小,即越到后面, 各项之间几乎“挤”在了一起。 Cauchy 收敛准则 的优点在于它不需要借助数列以外的任何数,只须根据数列自身各项之间的相互关系就能判别该数列的敛散性。 Cauchy 收敛准则 的缺点就是具体使用起来有时比较困难,比如收敛时与?相应的N的确定有些不易. * *