[理学]数学分析第二十二章曲面积分.ppt

§2 第二型曲面积分(对坐标的曲面积分) §3 高斯公式和斯托克斯公式 一、高斯公式 二、 斯托克斯公式 三、空间曲线积分与路径无关的条件 一、高斯 ( Gauss ) 公式 Green 公式 Gauss 公式 推广 定理1. 设空间闭区域 ? 由分片光滑的闭曲 ? 上有连续的一阶偏导数 , 下面先证: 函数 P, Q, R 在 面? 所围成, ? 的方向取外侧, 则有 (Gauss 公式) 证明: 设 为XY型区域 , 则 所以 若 ? 不是 XY–型区域 , 则可引进辅助面 将其分割成若干个 XY–型区域, 故上式仍成立 . 正反两侧面积分正负抵消, 在辅助面 类似可证 三式相加, 即得所证 Gauss 公式： 例1. 用Gauss 公式计算 其中? 为柱面 闭域 ? 的整个边界曲面的外侧. 解: 这里 利用Gauss 公式, 得 (用柱坐标) 及平面 z = 0 , z = 3 所围空间 思考: 若 ? 改为内侧, 结果如何? 若 ? 为圆柱外侧面呢? 另解: 例2. 利用Gauss 公式计算积分 其中 ? 为锥面 解: 介于 z = 0 及 z = h 之间部分的下侧. 作辅助面 取上侧 所围区域为?, 则 利用重心公式, 注意 例3. 设? 为曲面 取上侧, 求 解: 作取下侧的辅助面 用柱坐标 用极坐标 作业：P296, 1(3), (4). 二、 斯托克斯( Stokes ) 公式 定理2. 设光滑曲面 ? 的边界 ?是分段光滑曲线, (斯托克斯公式) 个空间域内具有连续一阶偏导数, ? 的 侧与 ? 的正向符合右手法则, 在包含? 在内的一 证（略）。 则有 为便于记忆, 斯托克斯公式还可写作: 或用第一类曲面积分表示: 例4. 利用斯托克斯公式计算积分 其中?为平面 x+ y+ z = 1 被三坐标面所截三角形的整个 解: 记三角形域为?, 取上侧, 则 边界, 方向如图所示. 利用对称性 例5*. ? 为柱面 与平面 y = z 的交线,从 z 轴正向看为顺时针, 计算 解: 设?为平面 z = y 上被 ? 所围椭圆域 , 且取下侧, 利用斯托克斯公式得 则其法线方向余弦 三*、空间曲线积分与路径无关的条件 定理3. 设 G 是空间一维单连通域, 具有连续一阶偏导数, 则下列四个条件相互等价: (1) 对G内任一分段光滑闭曲线 ?, 有 (2) 对G内任一分段光滑曲线 ?, 与路径无关 (3) 在G内存在某一函数 u, 使 (4) 在G内处处有 √ ╳ ╳ 与路径无关, 并求函数 解: 令 ? 积分与路径无关, 因此 例6. 验证曲线积分 作业*：P296, 3(1). “第22章 曲面积分”的习题课 一、内容要求 1、了解第一型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法； 3、会高斯公式，了解斯托克斯公式， 知道曲线积分与路线无关的条件及应用； 4、了解曲面积分在几何、物理上的简单应用。 2、了解第二型曲面积分的概念和性质，掌握其计算法， 知道两类曲面积分的联系； 重要公式： 当 时， （上侧取“+”, 下侧取“?”) (Gauss 公式) 1. 设 计算 解: 锥面 与上半球面 交线为 为上半球面夹于锥面间的部分, 它在 xoy 面上的 投影域为 则 思考: 若例3 中被积函数改为 计算结果如何 ? 2. 计算 3. 位于原点电量为 q 的点电荷产生的电场为 解: 。 求E 通过球面 ? : r = R 外侧的电通量 ? . 4. 设 是其外法线与 z 轴正向 夹成的锐角, 计算 解: 5. 计算 其中 ? 是球面 利用对称性可知 解: 显然球心为 半径为 利用重心公式 其中 ? 为半球面 的上侧. 解1: 以半球底面 原式 = 记半球域为 ? , 6、计算 为辅助面,且取下侧 , 利用高斯公式有 解2: 原式 7. 计算曲面积分 其中, 解: 8. 设 ? 是曲面 解: 取足够小的正数?, 作曲面 取下侧使其包在 ? 内, 为 xoy 平面上夹于 之间的部分, 且取下侧 , 取上侧, 计算 则 第二项添加辅助面, 再用高斯公式得 9. 计算曲面积分 中? 是球面 解: 利用对称性 用重心公式 10. 设L 是平面 与柱面 的交线 从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解: 记 ? 为平面 上 L 所围部分的上侧, D为?在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式 D 的形心 * 第22章 曲面积分 引例: 设曲面形构件具有连续面密度 类似求平面薄板质量的思想, 采用 “分割, 近似代替, 求质 求和, 取极限” 的方法, 可得 量 M. 其中