[理学]数学建模 第四章.ppt

MATLAB数学实验 第四章 函数和方程 第四章 函数和方程 4.1 预备知识：零点、极值和最小二乘法 4.2 函数零点、极值和最小二乘拟合的MATLAB指令 4.3 计算实验：迭代法 4.4 建模实验：购房贷款的利率和最佳订货量 4.1 预备知识：零点 非线性方程 f (x) = 0 若对于数?有f (?) = 0, 则称?为方程的解或根，也称为函数f (x)的零点 若f (?) = 0, f ’(?)?0 则?称为单根。 若有k 1, f (?) = f ’(?) = …= f (k-1)(?) = 0，但f (k)(?)?0 , 称为k重根 非线性方程求解通常用数值方法求近似解，常见的有二分法、牛顿法等 非线性方程（组）f (x) = 0， x=(x1, x2, …, xn), f=(f1, f2, …, fm) 4.1 预备知识：极值 设x为标量或向量，y=f(x)是x?D上的标量值函数。 4.1 预备知识：极值 4.2 函数零点MATLAB指令 多项式 y=polyval(p,x) 求得多项式p在x处的值y，x可以是一个或多个点 p3=conv(p1,p2) 返回多项式p1和p2的乘积 [p3,r]=deconv(p1,p2) p3返回多项式p1除以p2的商，r返回余项 x=roots(p) 求得多项式p的所有复根. p=polyfit(x,y,k)用k次多项式拟合向量数据(x, y),返回多项式的降幂系数 4.2 非线性函数的MATLAB表达 4.2 函数零点MATLAB指令 4.2 函数极值MATLAB指令 4.2 最小二乘拟合MATLAB指令 假设已知经验公式y=f(c,x)(c和x均可为向量), 要求根据一批有误差的数据(xi,yi), i=0,1,…,n, 确定参数c.这样的问题称为数据拟合。 最小二乘法就是求c使得均方误差最小化 Q(c)= 当f关于c是线性函数,问题转化为一个线性方程组求解，且其解存在唯一。 如果f关于c是非线性函数，问题转化为函数极值问题 4.3 计算实验：迭代法 4.4 建模实验：购房贷款的利率 4.4 建模实验：最佳订货量 4.4 建模实验：混沌 * * 如果对于包含x=a的某个邻域? ,有 f(a)?f(x) (f(a)?f(x))对任意x??成立, 则称a为f(x)的一个局部极小(大)值点。 如果对任意x?D，有f(a)?f(x)（f(a)?f(x)）成立， 则称a为f(x)在区域D上的一个全局极小(大)值点。 MATLAB中一个多项式用系数降幂排列向量来表示。 例2.用2次多项式拟合下列数据. x 0.1 0.2 0.15 0 -0.2 0.3 y 0.95 0.84 0.86 1.06 1.50 0.72 例1.求多项式x3 + 2 x2 - 5的根 ? p=[1 2 0 -5]; x=roots(p) , polyval(p,x) ex．（分析题目） 下面是六十年代世界人口的增长数据（单位：亿）： 年份1960 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 人口29.72 30.61 31.51 32.13 32.34 32.85 33.56 34.20 34.83 （1）请你仔细分析数据，绘出数据散布图并选择合适的函数形式对数据进行拟合； （2）用你的经验回归模型试计算：以1960年为基准，人口增长一倍需要多少年？世界人口何时将达到100亿？ （3）用你的模型估计2002年的世界人口数，请分析它与现在的实际人口数的差别的成因. 1．根据数据散布图，可选择线性函数、指数函数或其它合理的函数形式拟合数据，建立经验模型； 2.分析你的经验模型预测的人口数与实际人口数的差别的成因，一般有： （1）模型的函数形式选择不当； （2）根据较少的数据建立经验模型，外推预测会产生较大误差； （3）是由于人口政策和生育观念的改变使人口数增长规律发生较大的改变. Fun=inline(‘funstr’,’var’) 定义一个Inline 函数,其中funstr是函数的表达式, var是变量名 Fun=@Mfun 定义一个函数句柄，这里Mfun是函数的M文件表达方式 Fun=@(var)funstr 定义匿名函数，其中var是变量名, funstr是函数的表达式 x=fzero(Fun, x0) 返回一元函数Fun的一 个零点,其中Fun为函数句柄、 内嵌函